LES PROBLÈMES CUMULATIFS 

La réalisation de tout projet fait appel à des moyens dont la ponibilité influence la fixation, l’objectif et l’ordonnancement du projet. J.F. BOSS  écrit « … une grande partie des efforts consacrés à la gestion du projet s’applique donc à l’analyse des moyens nécessaires, afin d’assurer la compatibilité des besoins et le contrôle de l’utilisation des moyens. Cependant, l’analyse des projets par les diverses méthodes de chemin critique ne tient pas compte explicitement des ressources dans ces formes initiales ». Ces ressources peuvent être évidemment constituées d’argent, de matériaux, de personnel, etc…. La présence de telles limitations de ressources introduit un aspect combinatoire lié aux conflits intervenant entre tâches utilisant une même ressource. Les notions de marges et de dates limites ne suffisent plus à caractériser l’ensemble des ordonnancements admissibles*. On appelle problème cumulatif tout problème d’ordonnancement soumis à deux types de contraintes potentielles et de limitation de ressources. Une contrainte cumulative apparaîtra, par exemple, pour un ensemble de tâches de maçonnerie si trois maçons seulement sont disponibles : on ne pourra pas exécuter, â la fois, plus de 3 de ces tâches sans que l’on puisse savoir à l’avance laquelle sera retardée. Nous nous intéresserons, dans ce qui suit, à une certaine classe de ces problèmes cumulatifs. 1) Définition : Soit n le nombre de tâches. Chaque tâche i aura : – une intensité M„ (nombre de moyens nécessaires à son exécution) – une charge C¿ = M, x Du. Cette charge peut être assimilée à une quantité de travail (fig. 4.1) ^ temps fig. 4.1 – La charge totale sera CHT =¿-c^, pour i variant de 1 à n – Te représentera le temps critique. On dit d’un ordonnancement qu’il est admissible ou réalisable s’il respecte toutes les contraintes imperatives. Pour chaque ordonnancement réalisable, on définit tl : début réel d’exécution de la tâche i T*, : durée réelle d’exécution de l’ensemble du projet (T>, >, Tt,temps critique ne tenant pas compte des ressources) .

Types de problèmes cumulatifs dans le domaine du bâtiment 

Le nombre de problèmes cumulatifs est très important, on peut trouver autant de problèmes cumulatifs que de projets. Dans le domaine du bâtiment, le délai de réalisation est en général le critère le plus important. Nous nous sommes alors intéressés aux problèmes suivants, les plus représentatifs : – optimisation du délai total avec des ressources données, – optimisation des ressources avec un délai donné. Les problèmes auxquels nous nous sommes intéressé sont des problèmes à un seul moyen. Lorsqu’il y a plusieurs ressources limitées, on traitera chaque ressource, on choisira ensuite la solution (la plus contraignante) qui vérifie l’ensemble des limitations de ressources. En pratique, on s’intéresse aux limitations de ressources importantes telles que des équipements spéciaux, des équipes spécialisées, etc..

Optimisation de ressources avec un délai donné 

Le problème le plus utilisé de cette classe est connu sous le nom de « lissage ». La courbe de charge I(k) obtenue à partir des résultats des potentiels n’est généralement pas satisfaisante : elle présente trop de variations, c’est à dire que l’écart total E est important. Ces variations peuvent correspondre, suivant le moyen utilisé, à des embauches et débauches ou à des immobilisations de matériels, engendrant ainsi des frais pouvant être importants. Ce problème a d’avantage d’importance pour les PME puisqu’elles ne disposent pas en général d’un grand nombre de projets pour rendre plus souple l’utilisation des ressources. Ce problème peut être formulé de la manière suivante : Trouver un ordonnancement réalisable minimisant l’écart total E sous la contrainte T.= Tt Il consiste donc à tenter d’obtenir un niveau aussi constant que possible des ressources utilisées, c’est à dire une stabilité de la courbe de charge dans le temps.

Optimisation du délai avec des ressources données

 Ce problème est connu également sous le nom de « Nivellement ». L’ordonnancement défini dans le problème central aboutit à une liste de ressources définie dans le temps. En BTP, les ressources les plus importantes sont constituées pour l’essentiel par des centrales à béton, des grues, des coffrages. Lorsque ces ressources sont supérieures à celles dont dispose l’entreprise, cet ordonnancement n’est plus réalisable. Le problème peut être alors formulé de la manière suivante : Trouver un ordonnancement réalisable minimisant le temps réel sous la contrainte, M étant une constante donnée. 

Exemple d’illustration des problèmes de lissage et de nivellement 

Soit un ordonnancement défini par l’exemple de la fig. 4.3 .Cet ordonnancement aboutit au diagramme GANTT (fig. 4.4) et à la courbe de charge (fig. 4.5). La durée de cet ordonnancement au plus tôt serait alors de 11 jours. aspect lissage : la fig.4.5 montre qu’il est nécessaire d’utiliser aux 2ème et 3ème jours 25 unités alors qu’au 4° 12 unités suffisent. De telles fluctuations , bien que techniquement possibles, ne sont en général pas admises. aspect nivellement : Si la ressource totale qui peut être mise à la disposition du projet est inférieure à 25, cet ordonnancement est impossible. Il convient donc de trouver un autre ordonnancement qui satisferait à la condition I .