Hydraulique souterraine : Lois de Bernoulli et Darcy. Perméamètres et perméabilité équivalente

Loi de BERNOULLI et charge (potentiel) hydraulique

Charge (potentiel) hydraulique

La charge hydraulique  en un point est égal à la somme de la pression  en ce point (par exemple, liée à la hauteur d’eau au dessus de ce point) et de l’énergie potentielle liée à l’altitude de ce point :
r.g.h + r.g.z C’est l’énergie totale mécanique en ce point. L’eau se meut des points de haute énergie vers les points de basse énergie. L’équation précédente, pour être complète doit inclure un troisième terme relatif à l’énergie cinétique qui dépend de la vitesse (1/2 .r.V²). En divisant les termes par le produit constant r.g, on exprime la charge hydraulique en unité de longueur :H = h + z + (V²/2g)Mais, en règle générale, les écoulements souterrains sont très lents et le terme relatif à l’énergie cinétique peut être négligé.

Loi de DARCY

Nous allons la définir en partant de l’analogie entre phénomènes électrique et hydraulique. loi d’Ohm :  si n est le nombre d’électrons qui se déplacent par unité de volume et qui traversent une section du fil s à une vitesse moyenne u, la quantité d’électricité est: dQ = n .e. s.u.dt (e: charge de l’électron), c’est-à-dire le nombre de charges contenues dans le volume s.u.dt. L’intensité du courant est le nombre de charges par unité de temps qui traversent la section s, soit dQ/dt= i .
i s’exprime par le rapport entre la différence de potentiel entre a et b, liée aux nombres d’électrons en a et en b,  et la résistance du fil, elle-même fonction de sa longueur, de sa section et de sa résistivité dont l’inverse est la conductivité ou conductance:i =ddp/R = ddp.s/(r.l).Dans le dispositif hydraulique ci-dessus, qui est un perméamètre à charge constante, le mouvement de l’eau au travers de l’échantillon de sol est créé par la différence des niveaux d’eau Dh, qui est l’analogue hydraulique de la ddp, la section du fil a pour analogue hydraulique la section de l’échantillon, la longueur du fil a pour analogue la longueur de l’échantillon. La conductivité a pour analogue une caractéristique du sol qui exprime son aptitude à laisser passer l’eau: la perméabilité. i a pour analogue un volume d’eau passant par unité de temps au travers de la section de l’échantillon, c’est-à-dire un débit Q.
soit:Loi de DARCY: Q = – K . s .Dh/l . (l: trajet des molécules d’eau dans le milieu engendré par Dh, s surface traversée perpendiculairement par les molécules d’eau).
K a la dimension d’une vitesse (L.T^-1).
Convention de signe :
Si le débit est selon l’axe des x croissant, alors Q>0, sinon Q<0. Selon le schéma ci-dessus, l’axe des x est orienté vers la droite, le terme Dh est négatif, Q est positif.
Dh/l est appelé gradient hydraulique, il s’écrit, en une dimension et notation différentielle: dh/dx .  En trois dimension, il est représenté par un vecteur:
grad (h) de coordonnées (dh/dx, dh/dy , dh/dz )

• Le rapport Q/s = – K . dh/dx est appelé vitesse de Darcy; c’est, en fait, un débit par unité de surface, et elle ne correspond pas à la vitesse moyenne d’écoulement dans le milieu (sauf dans le cas d’un tube vide ou d’un cours d’eau).
• La vitesse moyenne d’écoulement dans un milieu s’exprime par: u =vitesse de Darcy/n   où n est la porosité .