Lois de probabilité associées à un modèle de réplication d’un ADN

Extrait du lois de probabilité associées à un modèle de réplication d’un ADN

1. Introduction
Dans cette Note, nous nous intéressons à plusieurs v.a. introduites par Cowan et Chiu dans un modèle probabiliste du processus de réplication d’une molécule d’ADN, [4] (voir aussi [3]). Rappelons brièvement ce dernier modèle. Dans le mécanisme de réplication d’une molécule d’ADN, l’un des deux brins (modélisé par la demi-droite [0,+∞)) se sépare de l’autre progressivement de la gauche vers la droite à la vitesse r. L’opération de reproduction s’effectue dans le sens opposé à la vitesse c ; elle est en fait amorcée à partir de certains sites (sites promoteurs) lorsque ceux-ci sont découverts après la séparation. Cette opération produit alors des fragments d’ADN. Dans le modèle de Cowan et Chiu, les sites promoteurs sont localisés le long de [0,+∞) selon un processus de Poisson spatial d’intensité µ et leur apparition au cours du temps est donc un processus de Poisson temporel d’intensité λ = rµ. Lorsqu’un fragment atteint son voisin de gauche, on estime qu’il faut rajouter un temps δ>0 pour consolider la jonction ; l’évolution de ce fragment est alors terminée. Le nouveau brin d’ADN ainsi formé est constitué de deux parties (voir Fig. 1) :
– un brin (le « continent») obtenu par concaténation depuis l’origine 0 de tous les fragments qui sont définitivement liés à leurs voisins de gauche. Le continent est donc relié à l’origine ;
– les segments restants qui ne sont pas encore reliés au continent, ce sont les fragments d’Okazaki (ou les « îles»).
Les interstices entre ces fragments constituent l’« océan».
Cowan et Chiu ont introduit les quantités suivantes : de fragments d’Okazaki existant à l’instant t ;
– la longueur Pt
– le nombre N t des tous les nouveaux morceaux d’ADN à l’instant t (continent inclus) ;
– la distance Dt entre la frontière de séparation et l’extrémité droite du continent à l’instant t . de tous les interstices entre les fragments d’Okazaki à l’instant t .
Cowan et Chiu, [4], ont calculé les moyennes asymptotiques lim
Introduisons également la longueur Pt = rt − Pt t →∞ E(Nt) et lim) en faisant appel à la théorie du renouvellement. Puis ils ont obtenu une équation intégrale pour E(Dtt →∞E(P) qui se situe dans le cadre général des équations de quasi-renouvellement introduites et étudiées par Piau, [6,7]. Ce dernier a alors pu évaluer la limite à l’infini de E(D), faisant apparaître des produits infinis utilisés dans la théorie des partitions, [1]. Cowan, [2], calcule ensuite la fonction génératrice asymptotique de la v.a. Nt lorsque t tend vers ∞ dans le cas δ = 0.

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