L’utilisation de la méthode polaire

„ Encore une fois, la partie isotrope de V est nulle, comme pour B, et celle de U* et W* est identique à celle de la couche de base, comme pour A* et D*. „ En outre, en comparant B et V, on observe immédiatement que, si les couches sont identiques, mais le contraire n’est pas vrai. Dans d’autres termes, on peut avoir des stratifiés découplés thermoélastiquement, mais couplés élastiquement Cette propriété peut être opportunément exploitée pour la construction d’hélices thermoformées à contrôle passif du pas (Winkler, 1986). „ Au contraire, un stratifié élastiquement découplé sera aussi toujours thermoélastiquement découplé (si à couches identiques). „ Ce qu’on a dit doit être mieux précisé; en fait, on a déjà observé, page 346, que si V=O, B = O ⇒ V = O, , . T v1 = bW v2 = b U 181 361 Copyright P. Vannucci – UVSQ paolo.vannucci@meca.uvsq.fr L’utilisation de la méthode polaire „ Dans d’autres termes, on a dans un cas de ce type le découplage thermoélastique seulement en rigidité, pour N et M, mais pas en souplesse, pour ε° et κ. „ Toutefois, par ce qu’on a vu, on a aussi que le découplage élastique implique tous les découplages: . B = O ⇒ b = V = v1 = v2 = G = g1 = g2 = O 

Stratifiés équilibrés

 … Stratifiés angle-ply  … Stratifiés cross-ply … Stratifiés quasi-isotropes  … Stratifiés isotropes  … Stratifiés quasi-homogènes  „ Dans ce chapitre on considère certains types de stratifiés d’usage fréquent dans les applications et leurs propriétés élastiques. „ Les résultats qui suivent concernent seulement les stratifiés à couches identiques, car seulement dans ce cas on peut donner des règles générales concernant les propriétés élastiques et leur conception. „ En effet, au chapitre précédent on a vu comment le comportement d’un stratifié à couches identiques soit conditionné, d’un côté par les propriétés élastiques de la couche de base, de l’autre par la séquence des couches et par leur orientation. „ Un point fondamental concerne justement les orientations: les différentes couches sont en général orientées de façon différente et donc, on l’a dit plusieurs fois, dans les formules qui donnent les tenseurs qui décrivent le comportement d’un stratifié, les tenseurs de rigidité des couches doivent être tournés dans le repère global du stratifié. Ceci se fait à l’aide de la transformation de page 308. „ Or, si l’on observe les formules de cette transformation on remarque qu’elles dépendent de combinaisons de quatrième degré des fonctions circulaires des orientations δk de la couche. „ Ceci implique que la conception d’un stratifié lorsque les orientations des couches sont les variables de conception est un problème très compliqué et en général avec solution non unique (si formulé comme un problème d’optimum il est non convexe). „ Alors, on a développé toute une série de règles pratiques pour concevoir les stratifiés, en particulier pour obtenir des stratifiés répondant à certains requis de rigidité en termes de symétries élastiques (on a déjà remarqué que le découplage pour les stratifiés à couches identiques coïncide avec l’isotropie de B). „ Ces règles ne sont, en général, que des conditions suffisantes, et pas nécessaires, pour obtenir une certaines propriété. Il s’agit normalement de règles simples, parfois intuitives, qui ont permis de déterminer des classes de stratifiés d’usage particulièrement fréquent. 1 „ La propriété la plus recherchée dans un stratifié est le découplage élastique, à savoir on veut toujours, hormis certains cas particuliers qu’on a déjà vu, B = O. „ Si on considère les formules de (Cartésiennes) ou de page 356 (polaires) et si l’on se rappelle que les coefficients bk varient linéairement sur l’épaisseur et qu’ils sont antisymétriques par rapport au plan moyen, on a immédiatement qu’une condition suffisante pour avoir B = O est celle de disposer les couches de manière symétrique par rapport au plan moyen, à savoir de façon que „ Cette règle, très simple, est celle suivie dans la presque totalité des cas Toutefois, il faut souligner que, contrairement à ce qu’on dit souvent, cette règle n’est pas une condition nécessaire, mais seulement suffisante pour le découplage élastique. δ δ , k p,…,p. k = −k ∀ = − 366 Copyright P. Vannucci – UVSQ paolo.vannucci@meca.uvsq.fr Stratifiés découplés „ Déjà en 1982 Caprino et Crivelli Visconti avaient démontré l’existence de stratifiés découplés à séquence non symétrique. „ Ensuite, Vannucci et Verchery (1998) ont montré que le nombre de solutions découplés symétriques est très exigu dans une classe bien plus vaste de stratifiés découplés (séquences quasi triviales). „ En outre, le désavantage le plus grand à utiliser les séquences symétriques est dans le fait que, si l’on veut obtenir le découplage, on est souvent obligés à doubler le nombre de couches; dans d’autres termes, l’usage des séquences symétriques dans la recherche de stratifiés ayant certaines propriétés, comporte souvent un nombre de couches beaucoup plus important de celui, minimum, avec lequel on aurait pu obtenir les mêmes propriétés recherchées. „ La recherche de stratifiés découplés à séquence non symétrique est possible soit de façon exacte en faisant appel au concept de séquence quasi triviale, soit de façon approximée en recourant à des solutions numériques.  „ Les stratifiés équilibrés (balanced en anglais) sont ceux pour lesquels à chaque couche orientée à l’angle θ correspond une couche orientée à l’angle –θ. Il s’agit donc de stratifiés à nombre pair de couches. „ Si en outre la séquence est symétrique, alors on a aussi le découplage. „ L’intérêt de cette classe de stratifiés est dans le fait qu’ils ont un comportement orthotrope en membrane. „ En fait, pour ces stratifiés „ Or, comme la couche de base est toujours orthotrope, si l’on considère, voir les formules à page 308