Mécanique des Matériaux 

 Quelques rappels de mécanique des milieux continus

Il s’agit ici de rappeler quelques notions de mécanique des milieux continus, dont nous aurons besoin dans ce cours. Pour le reste, il est fortement conseillé de se reporter au cours de MMC. 8.1.1 Tenseur des contraintes On se donne un petit volume de matière dV. On suppose, dans le cadre de ce cours, qu’il ne possède pas de mouvement de solide rigide (rotation ou déplacement global significatif) et qu’en outre ses déformations sont très petites. On lui attache donc un repère cartésien fixe (0,x,y,z). On définit alors la contrainte σ qui s’exerce sur cet élément de volume de la façon suivante : si T est la force par unité de surface qui s’exerce sur l’une de ses faces de normale n r , alors σ est tel que : n T r r σ. = T étant un vecteur « force par unité de surface » à trois composantes, et la normale à la face du volume étant un vecteur directeur à trois composantes, σ est un opérateur 3×3, appelé tenseur des contraintes, dont les composantes sont des efforts par unité de surface. ◊ Exemple n°1 : traction simple Si un cube de matière est en équilibre sous un effort par unité de surface Ty appliqué sur sa face droite et dirigé selon la direction y et sous un effort par unité de surface -Ty appliqué sur sa face gauche et dirigé selon la direction y, et qu’aucun autre effort ne s’exerce sur l’élément de volume, alors le tenseur des contraintes s’écrira : ( ) Ty Ty y y zyx r r rr r = ⊗           = ,, 0 0 0 0 0 0 0 0 σ LA3T2, Mécanique des Matériaux 136 On peut ainsi utiliser soit la notation matricielle, en précisant dans quelle base sont exprimées les composantes du tenseur, soit la notation tensorielle qui est telle que, soit trois vecteurs quelconques a ,, cb , le tenseur noté a ⊗b est un opérateur linéaire tel que, si on l’applique à un vecteur c quelconque le résultat obtenu est le produit scalaire des vecteurs etb c porté par le vecteur , soit: ∀a ,, cb (a ⊗ )cb = (b ⋅ )ac ◊ Exemple n°2 : cisaillement Si le volume de matière est en équilibre sous un effort par unité de surface Tz dirigé sur sa face droite selon la direction z et sur sa face gauche selon la direction –z, et qu’aucun autre effort ne s’exerce sur l’élément de volume, alors un couple dirigé selon la direction x apparaît. On fait l’hypothèse, en mécanique des milieux continus, que l’on ne transmet pas de couple à l’échelle de l’élément de volume. Cela impose que le tenseur des contraintes soit symétrique. Dans notre cas particulier, des efforts s’exercent donc sur les faces de normale z, et le tenseur des contraintes s’écrit alors : ◊ Cas général Pour un chargement quelconque de l’élément de volume, le tenseur des contraintes s’écrira de la façon suivante, en notation matricielle ou tensorielle :Alors l’effort s’exerçant sur une facette quelconque de normale n r et de surface dS se calcule comme suit :

Tenseur des déformations

On définit également la déformation ε de l’élément de volume de la façon suivante. Si u est le champ de déplacement des points de la matière entre un état initial et un état actuel infiniment proche : u u (x )xzy u (x )yzy u (x )z