Sommaire: Application des algèbres de lie à l’étude des molécules polyatomiques
1-Les groupes et les algèbres
1.1. Notion de groupe
1.2. Groupe fini et infini
1.3. Notion de sous groupe
1.4. Homomorphisme et isomorphisme de groupe
1.5. Produit de groupe
1.6. Groupe unitaire U(n)
1.7. Groupe orthogonal O(n)
1.8. L’algèbre de Lie
1.9. Sous algèbre de Lie
1.10. Sous algèbre de Lie invariante
1.11. Algèbre simple
1.12. Algèbre semi simple
1.13. Les constantes de structures
1.14. Somme directe de l’algèbre de Lie
1.15. La formule de Killing
1.16. Théorème de Cartan
1.17. La base de Cartan Weyl
1.18. Opérateur invariant
1.19. Algèbre unitaire
1.19.1. Définition
1.19.2. La réalisation bosonique
1.19.3. Les operateurs invariants de l’algèbre U(n)
1.20. Algèbre orthogonale SO(n)
1.20.1. définition
1.20.2. Les operateurs invariants de l’algèbre SO(n)
2- Les réalisations bosonique des algèbres U(4) et U4
2-1-L’algèbre U(4)
2.1.1. Les générateurs de l’algèbre U(4)
2.1.2. Les Chaine de sous algèbre U(4)
2.1.3. Les operateurs invariants
2.1.3.1 Les operateurs invariants linéaires
2.1.3.2 Les operateurs invariants quadratiques
2-2-L’algèbre U
2.2.1.Les générateurs de l’algèbre U
2.2.2.Chaine des sous algèbres non couplées de U
2.2.3.Chaine de sous algèbres couplées
3-Application l’algèbre U à l’étude des molécules diatomiques
3.1. Model quantique classique
3.1.1. Approximation de Born-Oppenheimer
3.1.2.La vibration-rotation des molécules diatomiques 3.1.3.L’expansion de Dunham
3.2.Model algébrique
3.2.1.Hamiltonien général
3.2.2.Les dynamiques des symétries
3.2.3. Etude du cas générale
3.2.4. Méthode de diagonalisation l’hamiltonien H
3.2.5. Calcul numérique
3.2.6. Application à la molécule CO
4-Application de l’algèbre U1(4) à l’étude des 4 U2 Molécules triatomiques
4.1.Model quantique classique
4.2.Model algebrique
4.2.1. L’hamiltonien du système
4.2.2.Les limites de U(3)
4.2.3. Les limites de SO(4)
4.2.4.L’hamiltonien général
4.2.5.Diagonalisation de H
4.2.6. Calcul numérique
Conclusion
L’annexe (les programme des calcules) Le programme de diagonalisation pour les molécules diatomiques
Le programme de diagonalisation pour les molécules diatomique
Bibliographie
♣ Extrait du mémoire
Introduction :
Les méthodes algébriques sont devenues un outil puissant pour formuler des théories des phénomènes physiques, en particulier dans le domaine quantique. Ainsi, la structure d’algèbres de Lie -initialement introduite dans la dernière partie du 19e siècle- a été enrichie et appliquées à la description de certaines propriétés d’un système physique, en particulier le comportement sous rotations et translations.
Les molécules diatomiques (et leur extension triatomiques) représentent un exemple typique de systèmes quantiques ayant reçu un traitement algébrique. Ainsi a été développé le modèle du vibron qui traite simultanément les rotations et les vibrations moyennant l’algèbre U(4).
L’algèbre U(4) est une algèbre de Lie ayant deux chaines de sous algèbres ????4⊃ ????3⊃????????3et ????4⊃ ????????4⊃ ????????3 [1]. L’hamiltonien bosonique décrivant le système s’écrit en fonction des opérateurs invariants des deux chaines précédentes. Ainsi on peut trouver analytiquement les valeurs propres correspondantes à chacune des deux limites.
Dans ce mémoire nous présenterons une approche algébrique de la spectroscopie des modes collectifs moléculaire, et nous discuterons les techniques algébriques et illustrerons ses applications par des compilations de résultats pour les molécules diatomiques et triatomiques.
Dans le premier chapitre on rappelle les différentes notions de bases (constante de structure, les operateurs invariants et le produit direct….) de la théorie des groupes, en particulier les groupes et les algèbres de Lie orthogonaux et unitaires.
Le deuxième chapitre étudie l’algèbre ????4 et le couplage ????4[2]. On a détaillé pour chaque type algébrique les différents générateurs qui engendrent l’algèbre de Lie et les propriétés des opérateurs de création et d’annihilation sous la rotation et la réflexion ; ensuite on a déterminé toutes les chaines possibles avec les calculs des operateurs invariants pour toutes les sous algèbres des algèbres ????4 et????1(4) ????24. 1(4) ????2..
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