Fonctions de corrélation temporelles

L’étude de l’excès de bruit dans le domaine temporel est réalisée en introduisant des fonctions de corrélation temporelle du nombre de photons détectés. Nous allons définir ici de façon rigoureuse ces fonctions et préciser leurs propriétés. Quelques exemples nous permettront de comprendre l’origine physique de leur forme. Précisons que le champ électromagnétique est, ici encore, traité classiquement.

a) Définitions et premières propriétés La fonction de corrélation de photons est introduite pour rendre compte de la façon dont la variable aléatoire n (t, T) décrivant les fluctuations du nombre de photons détectés « perd sa mémoire ». En effet, si deux photons sont émis par une source avec un délai T très grand, on s’attend à ce qu’ils n’aient pas de relation particulière entre eux: les variables aléatoires n (t, T) et n (t + T, T) sont indépendantes. Si le délai est très petit devant le temps caractéristique des fluctuations de l’intensité lumineuse Tc, les deux variables ont par contre quasiment toujours la même valeur. On formalise cette différence de nature des deux variables en étudiant les propriétés de la fonction de corrélation temporelle du nombre de photons (ou encore fonction de corrélation des photons) C(2) (T, T) (n (t, T) n (t T))t (1-12) La valeur moyenne ( … )t porte sur l’ensemble des réalisation statistiques du système et sur l’instant t. Les processus que nous étudions sont toujours stationnaires, c’est à dire que la fonction de corrélation ne dépend pas du choix de l’instant initial t. Il suffit donc d’effectuer une moyenne d’ensemble dans la formule 1-12. On note dans la suite de texte ( … ) la moyenne sur l’ensemble uniquement, et on peut résumer les propriétés des processus stationnaires par la formule (n(t,T)n(t+T,T)) = (n(O,T)n(T,T)) (n(t,T)n(t+T,T))t (1-13) On peut aussi bien choisir l’instant t = 0 comme instant initial.

Notons que les processus ergodiques sont une classe particulière de processus stationnaires [36] . L’intensité lumineuse détectée par un détecteur ponctuel l (t) produit un photocourant i (t). Dans le régime de comptage de photons et dans la mesure où l’intervalle d’échantillonnage T est suffisamment petit devant le temps caractéristique Tc, i (t) et l (t) sont proportionnneis au nombre n (t, T). Nous disposons donc de la même information sur les corrélations lumineuses si nous parlons de corrélations de photons, de corrélations d’intensité lumineuse ou de corrélations d’intensité du photocourant. La fonction de corrélation de photons est reliée à la fonction de corrélation de l’intensité lumineuse par la formule (n (t, T) n (t + T, T)) = o;2T2(1 (t) l (t T)) (1-14) = o;2T2(I (t))2 g(2) (T) où l’on a défini la fonction de corrélation normalisée (2) (T) _ (1 (t) l (t +T)) 9 (1 (t))2 (1-15) qui ne dépend que du délai T en vertu de l’hypothèse de stationnarité. Le premier terme est celui qu’on attend d’après la formule 1-14 et le second est issu du bruit de photons. Il y a donc une discontinuité dela fonction de corrélation des photons à délai nul. A partir de cette dernière relation et de la formule 1-14, la fonction de corrélation du photocourant Ci (T) _ {i (t) i (t +T)) (1-16) est Ci (T) = e (i) 8 (T) + (i)2 g(2) (T) (1-17) On a utilisé la relation (i (t)) ea (I (t)) et l’on a supprimé la dépendance temporelle du photocourant dans sa valeur moyenne (c’est un processus stationnaire). La fonction 8 (t) définie par 8 (0) = 1 et 8 (t > 0) 0 traduit la discontinuité dans la premier canal de la fonction de corrélation de comptage.

Une inégalité de Cauchy -Schwarz élémentaire permet de montrer que g(2) (T) est une fonction toujours inférieure à sa valeur à délai nul 1 ::::; g(2) (T) ::::; g(2) (0) (1-18) La borne inférieure résulte de la normalisation de la fonction de corrélation par sa valeur à temps très grand quand les photons détectés sont indépendants. Le fait que la fonction de corrélation soit maximale à délai nul est le phénomène de groupement (« bunching ») des photons émis par une source classique. Elle a été vérifiée dans les expériences de Forrester et Hanbury-Brown et Twiss dont nous reparlerons. La fonction de corrélation est décroissante et a une certaine forme (gaussienne, lorentzienne, autre…). Dans la mesure où il est légitime d’en définir une, sa largeur est, d’après la définition 1-15, le temps caractéristique des fluctuations de l’intensité lumineuse. C’est l’échelle fondamentale que nous avons introduite précédemment sans justification sous le nom de temps de cohérence. Nous adoptons la définition suivante

b) La relation de Siegert Un champ lumineux résultant de la somme d’un grand nombre de contributions aIéatoi res et mutuellement indépendantes jouit, nous l’avons vu, de propriétés statistiques particulières. C’est une variable de statistique gaussienne et l’on peut montrer [36] que, par exemple, tous les moments de l’intensité lumineuse peuvent s’exprimer en fonction du moment d’ordre 1, c’est à dire sa moyenne, selon la formule (r (t)) n! (I (t)) (1-20) Mais on peut aller plus loin encore et étudier les propriétés statistiques des champs gaussiens en conjonction avec les corrélations temporelles. On définit la fonction de corrélation du champ lumineux par la formule (E-(t) E+ (t +T)) gel) (T) = 1 D_ (t) E+ (t)) (1-21) où (t) et E-(t) sont les composantes de fréquences positive et négative du champ considéré comme un signal analytique [34] . Ce sont des quantités complexes conjuguées. Le dénominateur est proportionnel à l’intensité lumineuse moyenne (I (t)). La fonction gel) (T) est appelée fonction de corrélation du premier ordre du champ alors que g(2) (T), la fonction de corrélation de l’intensité, est la fonction de corrélation du deuxième ordre.

La seule hypothèse de statistique gaussienne permet de montrer [35] que g(2) (T) 1 Ig(1) (T)1 2 (1-22) Cette formule est connue sous le nom de relation de Siegert4 : pour une lumière de statistique gaussienne, la fonction de corrélation du deuxième ordre s’exprime uniquement en fonction du module carré de la fonction de corrélation du premier ordre. C’est sans doute la formule fondamentale de ce mémoire car elle sera sans cesse utilisée. Nous allons la prouver dans un cas simple dans le prochain paragraphe. A délai nul, on retrouve la formule des moments de l’intensité lumineuse (formule 1-20) pour n 2. Précisons bien les hypothèses sous tendant cette relation: le champ lumineux a une statistique gaussienne et le détecteur est ponctuel et de bande passante infinie, ou encore le temps d’échantillonnage du corrélateur calculant g(2) (t) à partir des trains de photoélectrons est petit devant Tc. Nous verrons dans la deuxième partie de ce chapitre comment la relation de Siegert est légèrement modifiée quand ces deux dernières hypothèses ne sont plus vérifiées. Plus généralement, on peut montrer [36] que, pour un champ gaussien, les fonctions de corrélation de l’intensité d’ordre n supérieur à 2 notées gCn) (T) s’expriment toutes en fonction de la fonction de corrélation du premier ordre gel) (T) . Toute l’information accessible sur les corrélations est donc contenue dans celle-ci. On note cependant que la phase de la fonction gel) (T), qui est a priori une fonction complexe, ne peut pas être connue à partir de la fonction de corrélation g(2) (T) puisque c’est le module au carré de celle-ci qui apparaît dans la relation de Siegert5.

Historique et applications

Si, dans ce mémoire, la technique des corrélations d’intensité est pour la première fois mise en oeuvre dans le domaine des atomes refroidis par laser, elle est bien connue depuis longtemps dans de nombreux autres secteurs de la physique. L essentiel des concepts de la spectroscopie par autobattement était en effet maîtrisé par la communauté des physiciens travaillant dans le domaine micro-onde avant les années 50. C’est Forrester, Gudmunsen et Johnson [43] qui ont les premiers démontré la possibilité d’étendre l’autobattement au domaine visible. Dans leur expérience classique réalisée en 1955, une lampe à mercure émettant à 546 nm était placée dans un champ magnétique de quelques kGauss et le battement entre deux composantes Zeeman décalées d’environ 1010 Hz était observé (leur résultat est reproduit sur la figure 1-7(a». Mais ce n’est qu’avec l’invention du laser que cette technique a connu un essort important dans le domaine de la spectroscopie (voir un autre article de Forrester en 1961 [49]). Là où les anciennes techniques à base d’interféromètres de Fabry-Perot permettaient de résoudre difficilement le MHz, elle a permis un gain en résolution de plusieurs ordres de grandeur Les techniques de corrélations de photons dans le domaine temporel sont apparues quasisimultanément.

Elles sont directement issues des expériences célèbres de Hanbury-Brown et Twiss qui ont fondé l’optique quantique moderne [44, 45, 47, 48] avec celles de Forrester On consultera à ce suj et un article très éclairant de Purcell paru en 1956 [46] . Ces expériences ont mis en évidence très clairement les notions de cohérence temporelle et spatiale d’un champ lumineux (figure 1-7(b». Elles ont aussi marqué la différence fondamentale qui existe entre un champ laser et un champ chaotique via l’absence ou la présence de corrélations temporelles. Par la suite, l’intérêt pour les expériences de comptage de photons a stimulé la réalisation de corrélateurs de plus en plus performants à partir du milieu des années 60 [35] , essentiellement au Royal Radar Establishment à Malvern. On peut donc dire qu’au début des années 70 les corrélations d’intensité, aussi bien dans le domaine spectral que dans le domaine temporel, étaient des techniques « mûres » qui allaient pouvoir être utilisées dans de nombreux laboratoires.

Fondamentalement, en diffusion de la lumière, toute dynamique ou toute fluctuation dans un milieu produit des fluctuations d’intensité de la lumière qui peuvent être analysées par l’intermédiaire de fonctions de corrélations ou de spectres [42] . Le champ d’investigation est donc exceptionnelement vaste. On peut consulter l’ouvrage de B. Chu [27] pour une bibliographie à jour en 1991 à propos des aspects expérimentaux. La référence [41] , quoiqu’un peu ancienne, porte sur les propriétés statistiques de la lumière en général. De manière très claire, elle aborde les corrélations issues de la diffusion par des fluides, des plasmas ou des particules. Il est remarquable qu’un formalisme général permette de couvrir des domaines d’études très différents dans leurs motivations. Il est ici intéressant de noter que les corrélations d’intensité qui étaient, initialement, une découverte de physique fondamentale (les expérience de Forrester et Hanbury-Brown et Twiss), ont été utilisées dans différents secteurs d’applications et sont même devenues le principe de base d’appareils à vocation industrielle. Nous avons vu que les corrélations d’intensité permettent de mesurer des coefficients de diffusion d’atomes, mais cela peut s’étendre à n’importe quelle particule microscopique en mouvement brownien. Or, dans ce cas, le coefficient de diffusion spatiale est lié à la taille des particules par la formule de Stokes. Les corrélations d’intensité sont devenues pour cette raison une technique d’analyse granulométrique courante, par exemple pour des poudres de peinture où le diamètre particulaire typique est de quelques dizaines de nanomètres. Enfin, selon la communauté concernée, la technique utilisée prend souvent un nom différent mais elle est toujours fondamentalement la même. Voici un inventaire, illustré de références car actéristiques, des dénominations les plus courantes: Photon Correlation Spectroscopy (PCS)[3 5] , Light Beating Spectroscopy[34] , 1ntensity Correlation Spectroscopy[50] , 1ntensity Fluctuation Spectroscopy (IFS ou XFS en rayons X)[51] , Dynamic light scattering (DLS)[52, 53, 54], Diffusing Wave Spectroscopy (DWS)[55, 56, 57] , Speckle Correlations[58] …. Cette technique est également utilisée couramment en physique des particules élémentaires [59] et a été appliquée récemment avec succès à l’étude des propriétés de cohérence temporelle de champs atomiques [60,61]