MILIEUX NÉGATIFS ET DISSIPATION

Dans cette approche, nous nous servons de la dissipation comme d’un outil pour développer une méthode d’approximation numérique que l’on peut voir comme une méthode de pénalisation. Dans ce chapitre, nous souhaitons revenir sur cette notion de dissipation et lui donner un sens physique. Plus précisément, nous nous intéresserons à la question de la modé- lisation de l’absorption dans les matériaux négatifs, question qui, nous le verrons, n’a rien d’évident. , ε). Ci-dessus, f désigne le terme source. Dans le Chapitre 1,nous avons démontré que ces problèmes peuvent être mal posés dans les cadres fonctionnels usuels correspondant à des champs physiques d’énergie finie et ce, pour toute valeur de la pulsation ω. C’est notamment le cas pour certains jeux de paramètres physiques lorsque l’interface entre le matériau positif (vide, diélectrique,…) et le matériau négatif (métal, métamatériau,…) présente dessingularités géométriques. D’un point de vue physique, il est difficile de comprendre ces problèmes mal posés. Néanmoins, nous pouvons imaginer raisonnablement que pour ces configurations, les équations aux dérivées partielles sur lesquelles nous travaillons ne modélisent plus correctement ce que l’on observe en réalité. Pour faire face à cette faiblesse du modèle, il est possible d’invoquer la dissipation (ou absorption) de tout milieu physique. Les paramètres physiques ne sont pas purement réels. Ils possèdent une partie imaginaire non nulle qui va assurer le caractère bien posé des équations de Maxwell. Cependant pour les applications, les physiciens aimeraient limiter au maximum les pertes en travaillant avec des matériaux aussi peu dissipatifs que possible. C’est pourquoi nous sommes conduits à étudier la question du comportement de la suite de solutions du problème avec dissipation. Pour simplifier la présentation, nous nous concentrerons sur le problème scalaire associé aux équations de Maxwell en 2D, et plus précisément, sur la partie principale de l’opérateur associé à ce problème.

Notre plan sera le suivant. Nous commencerons par rappeler ce que nous appelons problème dissipatif. Dans un second temps, nous présenterons quelques modèles de permittivités et per- méabilités négatives permettant de justifier la pertinence des équations que nous utilisons pour modéliser le problème dissipatif. Dans ce travail, nous effectuerons une étude énergétique en régime temporel pour montrer que le choix d’une partie imaginaire uniformément positive pour la permit- tivité et la perméabilité est cohérent avec la physique. Dans la Section 4.3, nous nous intéresserons au comportement de la suite des solutions du problème avec absorption. Enfin, dans le dernier paragraphe, nous démontrerons un résultat utile à la preuve de la convergence de la méthode numérique utilisant la dissipation.Ci-dessus, le paramètre γ représente la dissipation du milieu. Nous allons justifier dans le prochain paragraphe le choix d’une partie imaginaire uniformément positive sur le domaine. Nous appellerons problème dissipatif le problème. Comme nous l’avons indiqué pré- cédemment, on modélise usuellement l’absorption d’un matériau pour lequel la permittivité et la perméabilité sont positives en ajoutant une partie imaginaire positive à ε et à µ. On peut vérifier que cette modélisation concorde avec la physique en un sens que nous préciserons dans le §4.2.3. Dans cette section, nous souhaitons justifier que le choix .

Modèle de Drude pour les métaux

Le modèle de Drude consiste à considérer que les électrons dans un métal sont libres de se déplacer (ω), elle, est toujours positive. Notre choix d’ajout de la dissipation en (4.4) concorde donc avec ce modèle très simple. De nombreux métaux possèdent une fréquence plasma située dans l’ultraviolet si bien que dans le visible, leur permittivité présente une partie réelle négative. La Figure 4.1 présente quelques valeurs expérimentales de εcroît lorsque la longueur d’onde décroît. Le modèle de Drude (4.7) capte bien ce phénomène. Par contre, pour la partie imaginaire, les choses sont plus discutables. La partie imaginaire devrait décroître lorsque la longueur d’onde décroîtIl n’est en fait pas nécessaire de disposer d’un métal pour obtenir une permittivité négative. Un simple diélectrique, dans une certaine gamme de fréquences, peut suffire. Le modèle de Lorentz consiste à prendre en compte l’interaction de l’électron avec le noyau chargé positivement en ajoutant une force de rappel −mωIntéressons-nous maintenant aux matériaux à perméabilités négatives, matériaux que l’on ne trouve pas dans la nature et qui sont obtenus par un procédé d’homogénéisation. De nouveau, suivons [3] et considérons la fameuse structure de la Figure 4.2 fabriquée à partir de Split Ring Resonators. Ce sont des résonances locales qui se produisent dans les anneaux coupés qui confèrent à l’ensemble de la structure cette propriété artificielle de perméabilité négative.