Modèle EXPAR(p) restreint périodique

Théorie asymptotique de LeCam 

Ce chapitre regroupe les notions et outils fondamentaux que nous utiliserons par la suite, une grande partie de la présentation est tirée de Van Der Vaart (1998). En fait, quand la théorie d’optimalité exacte ne donne pas de résultat alors la théorie d’optimalité asymptotique peut aider. Par exemple, pour comparer deux tests on peut comparer l’approximation des fonctions puissances, et pour comparer deux estimateurs on peut comparer leurs variances asymptotiques au lieu des variances exactes. Il s’avère, en e§et, que pas seulement les tests statistiques et les estimateurs qui sont asymptotiquement normaux mais souvent aussi toute la suite des modèles statistiques converge vers un modèle à observation normale. Une notion fondamentale sur laquelle repose le test optimal que nous allons construire est la normalité asymptotique locale (LAN) issue de la théorie de LeCam.

Normalité asymptotique locale (LAN)

Une suite de modèles statistiques est « LAN » si asymptotiquement leurs processus de rapport de vraisemblance sont similaires à ceux d’un paramètre de position Gaussien. Techniquement c’est vérifié si les processus de rapport de vraisemblance admettent un certain développement quadratique. Le LAN implique la convergence des modèles vers un modèle Gaussien après reparamétrisation du paramètre. On observe l’échantillon i:i:d; X1; :::; Xn à partir d’une distribution p sur un espace mesurable (X ; A) indexé par  2  de R k : 1 .Alors, toutes les observations forment une seule observation du produit : p n  : n copies de p: Le modèle statistique est complètement décrit par la collection des mesures de probabilités fp n  ;  2 g sur l’espace d’échantillon (X n ; An ): On parle d’expériences statistiques au lieu de modèles statistiques. On montre que plusieurs expériences statistiques peuvent ‘tre approchées par des expériences Gaussiennes après une reparamétrisation adéquate. La reparamétrisation est centrée autour du paramètre fixe 0 qui sera considéré comme connu.