Modélisation numérique et optimisation du capteur

 Validation du modèle

Validation logicielle

Le programme permet de simuler bon nombre de dispositifs à ondes élastiques de surface mais également de simuler des dispositifs à ondes élastiques en milieu contraint mécaniquement. Dans ce cas, il est alors nécessaire de connaître les propriétés mécaniques du substrat afin d’en déterminer la sensibilité à la contrainte. Dans un premier temps, on va tout d’abord valider les résultats obtenus par simulation via le programme pour un cas simple.Pour ce faire, on suppose que l’on dispose d’un résonateur déposé sur un substrat soumis à un champ de contrainte homogène en tout point. On suppose que ces contraintes sont induites par une pression hydrostatique P par exemple. La variation relative vrel de vitesse ainsi induite des ondes est une combinaison linéaire des coefficients du tenseurs des contraintes. Fixons arbitrairement ce coefficient de sensibilité aux contraintes à 1.10−10Pa−1 . La variation de fréquence de synchronisme du résonateur est donnée par la relation (voir paragraphe 3.2.0.3) : ∆F = sαi j.Ti j.F.P = vrel.F.P (4.1) Considérons le résonateur dont les propriétés géométriques sont les suivantes : – 68 paires d’électrodes excitatrices avec un taux de métallisation de 0,7257 et une période mécanique de 3,599 µm, – 2 réflecteur de Bragg composés chacun de 270 électrodes avec un taux de métallisation de 0,7257 et une période mécanique de 3,621 µm, – l’ouverture acoustique du résonateur est fixée à 350 µm. La courbe de la figure 4.1 indique la conductance du résonateur lorsqu’il n’est soumis à aucune contrainte. La fréquence de résonance est indiqué par la fréquence correspondant au maximum de la courbe et vaut : fres = 434, 047MHz La variation attendue de fréquence de résonance vaut alors : ∆F = fres.vrel.P (4.3) Pour valider le programme dans ce cas simple, il suffit alors de supposer que chaque cellule élémentaire du dispositif est soumise à cette variation relative de vitesse ; on montre alors que la variation de la fréquence de résonance obtenue par modélisation est la même que celle escomptée. Les courbes de la figure 4.2 montrent la conductance du résonateur en fonction de la fréquence La courbe «translation» est obtenue en faisant une translation de la courbe issue du graphique de la figure 4.1 dans l’axe des fréquence d’une valeur de 10−10.MPa.fres soit dans le cas présent 434047 Hz. La courbe «10 MPa» est obtenue à partir de la simulation pour ce même dispositif lorsque chaque cellule élementaire subit une variation relative de vitesse vrel.10 Mpa=10−3 .Ces deux courbes sont très similaires et l’écart relatif de variation de fréquence de résonance induite par la pression est inférieure à 0,1%. Cet écart peuts’expliquer par le fait que les conditions de résonance ont évolué et se trouvent maintenant pour une fréquence différente pour laquelle les paramètres géométriques du résonateur ne sont «apparemment» plus les mêmes. Notons toutefois que les modifications géométriques vues par l’onde pour cette nouvelle fréquence de synchronisme sont du même ordre de grandeur que la variation relative de vitesse soit 10−3 . Au vu de ces résultats, nous supposerons qu’il est louable de réaliser des modélisations à partir du logiciel développé au moins pour des cas simples. 

Validation du modèle 

Considérons maintenant le cas plus complexe d’une poutre. Afin d’évaluer la pertinence du modèle dans ce cas, on réalise l’expérience suivante. Un résonateur est déposé sur une poutre en quartz de coupe AT(YXl)/40° soumise à une flexion en trois points comme illustré en figure 4.3[40]. La force appliquée F induit des contraintes au sein du résonateur, lesquelles vont avoir une influence sur la réponse électrique de ce dernier. La force est appliquée via le poids de masselottes de masses connues. La longueur d’appui de la poutre vaut L et b représente sa largeur. Le résonateur est déposé sur la partie inférieure de la poutre. La figure 4.3 représente un schéma de l’expérience Connaissant le champs de contrainte vu par le résonateur, on peut dès lors simuler son comportement en fonction de la charge F appliquée. Pour les calculs numériques et l’expérience, on considère une poutre dont les dimensions sont les suivantes : – la valeur de L est de 9 mm, – l’épaisseur de la poutre h est de 350 µm, – sa largeur vaut 6,28 mm. Les caractéristiques géométriques du résonateur sont les suivantes : – 2 réflecteurs de Bragg constitué chacun de 270 électrodes avec la géométrie suivante – une période mécanique de 3,57 µm, – une épaisseur de métallisaton de 160 nm, – un taux de métallisation de 0,76 – 68 paires d’électrodes excitatrices possédant la même géométrie que les électrodes des réflecteurs de Bragg (on parle alors de résonateur synchrone) Dans un premier temps, on effectue un rappel sur la théorie des poutres. Celui-ci nous permet de mieux apréhender le comportement global de la poutre et nous servira également à réaliser des calculs d’erreur. Le moment quadratique de la poutre suivant l’axe x, dans l’hypothèse d’un matériau isotrope, vaut [41] I = bh3 12 (4.4) Le moment fléchissant est donné par Mf z = F 2 x pour x < L/2 et Mf z = F 2 (L − x) pour x > L/2 (4.5) La contrainte suivant x en tout point de la poutre vaut : σxx = − Mf z I .y (4.6) et la contrainte au niveau de la surface de la poutre vaut : σxx = F b . 3 h 2 .x pour x < L/2 et σxx = − F b . 3 h 2 .(L − x) pour x > L/2 (4.7) Pour les simulations, les contraintes au sein de la poutre sont calculées par la méthode des éléments finis et les problèmes d’élasticité sont résolus à partir du logiciel Modulef développé par l’INRIA et d’autre modules développés par notre équipe de recherche. La figure 4.4 permet d’illustrer le maillage utilisé afin de modéliser les contraintes .Une fois le champ de contrainte déterminé au niveau du résonateur, on peut modéliser sa réponse électrique. Pour les modélisations, on suppose que la répartition des contraintes est linéaire avec la force appliquée sur la poutre (hypothèse de l’élasticité linéaire). La valeur du tenseur des contraintes en tout point est déterminée et à chaque point de la poutre est associée une variation relative de la vitesse des ondes. Les coefficients de sensibilité aux contraintes sont donnés en annexe B page 145 et ont été obtenues à partir d’analyses numériques développées au laboratoire selon une méthode de perturbation (voir la section 3.2.0.3 page 44). Le champ de contrainte étant continu, nous supposerons que par interpolation il est possible de connaître la variation relative de vitesse en tout point du résonateur et ainsi déterminer sa réponse électroacoustique. Le graphique de la figure 4.5 représente la variation de la vitesse relative sur la partie inférieure de la poutre lorsqu’une pression de un pascal est appliquée sur la référence 2. Les courbes de la figure 4.6 montrent la variation de fréquence obtenue avec la modélisation lorqu’on suppose que le résonateur est soumis aux variations relatives de vitesse suivantes : – La courbe «inho» indique la variation de la fréquence de résonance du résonateur avec la force appliquée en tenant compte de la répartition inhomogène des variations de distribution de vitesse. – La courbe «max» indique la variation de la fréquence de résonance du résonateur avec la force appliquée si l’on considère que le résonateur est soumis partout à la plus grande variation de vitesse.

Calcul d’erreur 

Afin de déterminer l’erreur sur l’expérience, on évalue les incertitudes pratiques sur les paramètres suivants : – La position du résonateur n’est pas connue à mieux que 0,05 mm de précision. – L’épaisseur de la poutre est homogène à 5 µm près. – La masse de chaque masselotte est supposée connue au gramme près – La largeur de la poutre n’est précise qu’à 2 µm. – Incertitude sur l’angle du substrat de quelques minutes d’angle. – Une connexion électrique avec une soudure au niveau du centre de la plaque qui rigidifie l’ensemble et modifie la distribution de contraintes. – L’influence de l’onde Rayleigh décroit de manière exponentielle au sein du matériau. La variation de fréquence relative induite par tous ces paramètres vaut alors : ∆ferreur = ∆fepais + ∆flarg + ∆fpos + ∆fmasse + ∆fangle + ∆fconnec + ∆fonde (4.8) Où ∆fepais, ∆flarg, ∆fpos, ∆fmasse, ∆fangle, ∆fconnec et ∆fonde sont respectivement l’écart de variation de fréquence dû à la variation d’épaisseur de la poutre, de sa largeur, de sa position, de la variation de masse des masselottes, de la variation d’angle des substrats, de la variation dûe aux connections électriques et des variations dûes aux variations de sensibilité sur la profondeur de pénétrations des ondes Dans le cas d’une poutre isotrope, la variation de contrainte σ au niveau de la membrane est estimée à partir de l’équation 4.7 à : ∆σ = ∆  F bh2 .x  (4.9) Un ordre de grandeur de la variation relative de variation de vitesse ∆v v dû aux incertitudes géométriques de la poutre vaut alors : ∆v v = α ∆b b + 2 ∆h h + ∆F F + ∆x x ! (4.10) Où α représente le coefficient de sensibilité à la contrainte. L’influence dûe aux connexions électriques n’est pas estimée dans ce rapport. Toutefois, elle aurait pu être directement prise en compte dans la modélisation par élément finis. En ce qui concerne les variations de vitesse dûes aux variations de l’angle, on suppose une variation de l’angle ψ et θ de 5° pour ψ et 5° pour θ autour de la postion (0,0,40°). On connaît le tenseur des contraintes au niveau de chaque noeud du maillage de la poutre. On sélectionne alors les nœuds au niveau du résonateur et on détermine la variation relative de vitesse moyenne au niveau du résonateur pour chaque angle autour de cette position. Cette approche permet de déterminer un bon ordre de grandeur car la variation relative de résonance en tenant compte d’une distribution inhomogène de variation de vitesse est proche de la variation relative dûe à la moyenne des variations de vitesse lorsque la contrainte n’est pas distribuée selon l’axe z. Le graphique 4.8 illustre la variation relative de vitesse pour une variation de l’angle ψ et θ. On peut voir que dans la pire des situations, la variation relative de vitesse peut aller de -7% à 1%. Afin d’estimer la variation de variation de vitesse dûe à la pénétration de l’onde dans le substrat, nous considérerons que l’onde se comporte comme si elle était soumise à la moyenne des variations de vitesse. On suppose que comme dans le cas d’une poutre isotrope, la contrainte diminue linéairement du dessus de la poutre au dessous de la poutre en s’annulant au niveau de la ligne neutre. Il suffit alors de moyenner la contrainte avec «l’intensité» de l’onde de Rayleigh. Si l’on suppose en première approximation que l’onde décroît linéairement et s’annule au bout de deux longueurs d’onde la valeur moyenne de variation de vitesse vue par la poutre vaut : < σ >= 1 2λ Z 2λ 0 σsur f .(1 − y 2λ )(1 − y 2 h )dy