Notions de base sur la Dispersion de Mode de Polarisation

Notions de base sur la polarisation de la lumière ; Milieux anisotropes La notion de polarisation de la lumière est liée au caractère vectoriel du champ électromagnétique t,r(E( ), t,r(B )) r r r r associé à la propagation d’ondes lumineuses. En optique on choisit traditionnellement le champ électrique pour définir la polarisation. Pour une onde plane et monochromatique, la polarisation est associée à l’évolution temporelle du champ électrique en un point de l’espace. On définit différents états de polarisation en fonction de la figure décrite par l’extrémité de E r : • Etats de polarisation linéaires lorsque l’extrémité du champ électrique décrit une droite dans le plan d’onde ; • Etats de polarisation circulaires lorsque l’extrémité du champ électrique décrit un cercle dans le plan d’onde ; • et plus généralement, états de polarisation elliptiques lorsque l’extrémité du champ électrique décrit une éllipse dans le plan d’onde ; On définit un sens de parcours du champ électrique et on parle de polarisation droite (respectivement gauche) lorsqu’en regardant le plan d’onde dans le sens opposé au sens de propagation, le champ électrique tourne dans le sens direct (respectivement indirect).

Représentation de l’état de polarisation

Deux formalismes sont principalement utilisés pour représenter la polarisation d’une onde lumineuse ainsi que l’effet des dispositifs optiques sur celle ci : les formalismes de Jones et de Stokes. Le premier est particulièrement bien adapté à la description d’ondes lumineuses totalement polarisées, tandis que le second l’est pour la lumière partiellement polarisée. Le formalisme de Stokes est néanmoins couramment utilisé dans les deux cas car il fait appel, pour la représentation de la polarisation, à des grandeurs relatives à des intensités de composantes du champ ou à des combinaisons de ces intensités. Il est donc intrinsèquement lié à des grandeurs aisément mesurables.

Formalisme de Jones

Le champ électrique d’une onde plane monochromatique se propageant dans l’espace selon la direction de propagation ez r est : E )t,z( A cos( t kz ) E )t,z( A cos( t kz ) y y y x x x ω φ ω φ = − − = − − équation I.1 où x, y sont portés par les vecteurs unitaires ex r , ey r d’un repère cartésien orthonormé (O, e , e ) x y r r du plan d’onde. En fonction des valeurs relatives de Ax et Ay et du déphasage φ = φ x − φ y , on obtient les différents types de polarisation énoncés plus haut. La représentation de Jones consiste à associer au champ électrique de l’équation I.1, le vecteur complexe normé J exprimé dans la base e( e, ) x y r r :  J équation I.2 La donnée de J suffit donc à caractériser parfaitement l’état de polarisation de l’onde plane et monochromatique associée à )t,z(E r . La figure I.1 représente un exemple de figure géométrique décrite par l’extrémité du champ électrique ainsi que les différents paramètres utilisés pour définir l’état de polarisation. Le tableau I.1 présente les différents états de polarisation et les vecteurs de Jones associés écrits dans la base cartésienne ( ex r , ey r ) en fonction des paramètres définis sur la figure I.1. figure I.1 : la figure décrite par l’extrémité du champ électrique en fonction du temps est ici une ellipse ; les différents paramètres utilisés pour la décrire sont généralement l’azimuth α et l’ellipticité εou l’angle χ et le déphasage entre les deux composantes du champ électrique φ=φx -φy [Huard] Linéaire d’angle α         α α sin cos Circulaire droit/gauche         + − i 1 2 1 / Elliptique         − φ χ χ i sin e cos ou         + − α ε α ε α ε α ε sin cos i cos sin cos cos i sin sin Tableau I.1 : polarisation et vecteur de Jones associé Chapitre I : Notions de base sur la Dispersion de Mode de Polarisation 15 1.1.2 Formalisme de Stokes Le formalisme de Stokes repose sur l’utilisation de quatre paramètres réels, définis par des combinaisons d’intensités. Si le champ électrique est représenté par l’équation I.1, alors les expressions des quatre paramètres de Stokes P0 , P1 , P2 et P3 , sont données par :  équation I.3 où x I , y I sont les intensités mesurées respectivement par un polariseur linéaire orienté selon l’axe x et y ; 45 I+ , 45 I− sont les intensités mesurées respectivement par un polariseur linéaire orienté à + et –45° de l’axe x ; g I , d I sont les intensités mesurées respectivement par un polariseur circulaire gauche et droit. A ces quatre quantités, on associe un vecteur de norme unité, le vecteur de Stokes qui est défini comme suit :           = 3 0 2 0 1 0 P / P P / P P / P S r équation I.4 Ce vecteur peut s’exprimer en fonction de l’ellipticité ε et de l’azimuth α de l’ellipse de polarisation de la figure I.1 de la façon suivante :           = ε α ε α ε sin 2 sin2 cos 2 cos 2 cos 2 S r équation I.5 Cette expression du vecteur de Stokes suggère une représentation géométrique associant à chaque état de polarisation un point sur une sphère de rayon unité (cf figure I.2). La latitude et la longitude de ce point sont données par 2ε et 2α respectivement. La sphère obtenue est appelée sphère de Poincaré. Les pôles de cette sphère sont associés aux états de polarisation droits et gauches ; l’équateur est associé aux états de polarisation linéaires tandis que les autres points sont associés aux états de polarisation elliptiques.Lors de la propagation de la lumière dans un milieu isotrope, la différence de phase entre les deux composantes du champ électrique (équation I.1) ou du vecteur de Jones (équation I.2) n’est pas modifiée, de sorte que l’état de polarisation reste inchangé. Nous allons nous intéresser dans le paragraphe suivant aux milieux qui, par opposition au milieu isotrope, modifient la polarisation du champ électrique au cours de la propagation : ces derniers sont appelés milieux anisotropes. 

Milieux anisotropes

De manière générale un milieu anisotrope est un milieu dont les propriétés optiques dépendent de la direction de propagation de l’onde. On peut citer les cristaux dont les arrangements d’atome dépendent de la direction dans l’espace, où les solutions dont les molécules présentent certaines propriétés de symétrie. Dans tout milieu anisotrope homogène2 [Huard], il existe pour chaque direction de propagation deux états de polarisation orthogonaux qui sont tels que si le champ électrique est initialement polarisé selon l’un d’entre eux, sa polarisation reste inchangée tout au long de la propagation. Ils sont nommés états propres de polarisation et constituent une base de décomposition pour l’ensemble des états de polarisation d’une onde plane et monochromatique se propageant dans le milieu anisotrope considéré ; leurs vecteurs de Jones seront notés e1 et e 2 dans la suite. On distingue généralement deux types de milieux anisotropes : • Les milieux anisotropes linéaires, dont les états propres de polarisation sont linéaires. • Les milieux anisotropes circulaires, dont les états propres de polarisation sont circulaires.