Ondes dans des milieux particuliers (conducteur, plasma) (les vecteurs sont en caractères gras)

Exercice 1: Onde dans un conducteur 1)

On s’intéresse à la propagation d’une onde dans un milieu métallique conducteur globalement neutre de conductivité statique γ0 = ne²τ/m (voisine de 107 Sm-1 ), en présence de courant, la densité de courant j étant reliée au champ électrique E par la loi d’Ohm. Dans l’expression de γ0, n est la densité électronique (m-3 ), tandis que e = 1.6 10-19 C et m = 9.1 10-31 kg sont respectivement la charge et la masse de l’électron; τ = 10-14 s est le temps moyen entre deux collisions. La conductivité en présence d’une onde de pulsation ω devient γ = γ0 / (1 + i ωτ). On a deux cas limite: – si ω << 1/τ = 1014 rd/s, γ = γ0 (nombre réel) – si ω >> 1/τ = 1014 rd/s, γ = γ0 / (i ωτ) = – i n e² / mω (nombre imaginaire pur) Comme dans l’exercice 2B, l’équation à laquelle obéit le champ électrique est: ∆E = μ0 γ ∂E/∂t + μ0 ε0 ∂²E/∂t² On se place dans le cadre d’une OPPH en e i(ωt – k.r) . En utilisant la forme prise par les opérateurs ∂/∂t, ∂²/∂t² et ∆ pour une OPPH, en déduire la relation de dispersion des ondes liant k² à ω en fonction de C, μ0 et γ (rappel: μ0 ε0 C² = 1). 2) A quelle gamme de longueur d’onde λ la relation ω << 1/τ = 1014 rd/s correspond-elle ? Nommer ce domaine du spectre électromagnétique; même question pour ω >> 1/τ. 3) Aux basses fréquences telles que ω << 1/τ = 1014 rd/s, comparer les deux termes de la relation de dispersion (on donne γ0 = 107 Sm-1 , ε0 = 8.84 10-12 SI); en déduire que k² = – i μ0 γ0 ω, puis en remarquant que – i = (1 – i)²/2, exprimer k (nombre complexe) en fonction de δ = (2 / μ0 γ ω)1/2 , longueur caractéristique d’amortissement de l’onde appelée épaisseur de peau, ainsi que les indices de dispersion et absorption n1 et n2; on rappelle que k = (ω/C) (n1 -i n2). Que vaut δ (en microns) pour une onde radio de fréquence 100 MHz ? Comparer δ à la longueur d’onde. Quelle est la nature de l’onde: propagation pure ? absorption pure ? évanescente ? 4) Aux hautes fréquences telles que ω >> 1/τ, montrer que k² = (ω² – ωp²) / C² où ωp = (n e² / ε0 m)1/2 désigne la pulsation plasma. La calculer pour n = 1029 m-3 . Donner la longueur d’onde λp correspondante en microns; nommer le domaine du spectre électromagnétique. 5) Considérons une onde telle que ω > ωp; se propage t-elle ? 6) Considérons une onde telle que ω < ωp; se propage t-elle ? Quelle est la nature de l’onde: absorption pure ou évanescente ? Expliquer pourquoi les ondes lumineuses visibles sont réfléchies par un métal, alors que l’UV lointain y pénètre. Quel est l’ordre de grandeur de l’épaisseur caractéristique d’absorption, en comparaison de la longueur d’onde ?

Réponses

1) k² = μ0 ε0 ω² – i μ0 γ ω = ω²/C² – i μ0 γ ω 2) ω << 1/τ correspond à λ >> 18.85 microns (IR lointain et ondes radio) ω >> 1/τ correspond à λ << 18.85 microns (IR proche, visible, UV) 3) ω << 1/τ implique γ = γ0 Le rapport des termes ω²/C² et μ0 γ0 ω vaut ω ε0 / γ0 < 10-4 . En conséquence, k² = – i μ0 γ0 ω et k = (1 – i) / δ = n ω/C, d’où n = n1 – i n2 = (1 – i) (C / δω) = (1 – i) (γ / 2ε0ω) 1/2 ν = 108 Hz, ω = 6.28 108 rd/s, δ = 16 microns << λ = 3 m l’onde est évanescente (propagation + absprption) 4) ω >> 1/τ implique γ = – i n e² / mω et k² = (ω² – ωp²) / C² n = 1029 m-3 , ωp = 1.78 1016 rd/s et λp = 0.106 micron, dans l’UV 5) ω > ωp; k² réel positif, propagation pure de l’onde 6) ω < ωp; k² réel négatif, donc k imaginaire pur: absorption pure de l’onde Les ondes lumineuses visibles sont telles que λ > λp; elles sont absorbées et l’épaisseur

Exercice 3: ondes électromagnétiques dans la couronne solaire et l’ionosphère terrestre

Lorsqu’une onde électromagnétique se propage dans un gaz ionisé globalement neutre comme l’atmosphère solaire, avec autant d’électrons que de protons (plasma), les électrons sont mis en mouvement par l’onde. La relation de dispersion des Ondes Planes Progressives Harmoniques (OPPH) s’écrit: k² = (ω² – ωp²) / C² où k est le module du vecteur d’onde, C la vitesse de la lumière (3 108 m s-1 ), ω la pulsation de l’onde et ωp la pulsation plasma donnée par la relation ωp² = n e² / (ε0 m). n est le nombre d’électrons par unité de volume (densité électronique, unité m-3 ), m la masse de l’électron, -e sa charge et ε0 la permittivité du vide. On donne les valeurs numériques suivantes: m = 9.1 10-31 kg, e = 1.6 10-19 C, et 1/(4πε0) = 9 109 SI. 1) les ondes se propagent-elles si ω < ωp ? 2) dans l’atmosphère solaire, la densité électronique n décroît avec l’altitude; quand on divise n par 100, par quel facteur varie la pulsation plasma ωp ? 3) observer à des fréquences plasma diverses permet ainsi de sonder les différentes couches de l’atmosphère du soleil. A haute fréquence, observe t-on bas ou haut ? 4) quelle est la valeur de la densité électronique n qui correspond à la fréquence de 17 GHz (image de gauche) ? 5) quelle est la valeur de la densité électronique n qui correspond à la fréquence de 327 MHz (image de droite) ? 6) l’ionosphère terrestre est une couche ionisée située à plus de 100 km d’altitude du sol. La densité électronique n y est de 1011 m-3 . Calculer la pulsation plasma ωp, puis la fréquence plasma associée νp. Une onde radio de fréquence ν =1 MHz peut-elle s’y propager ? aide: la pulsation ω vaut 2π ν, où ν est la fréquence

Réponses

1) non, ωp est une pulsation de coupure. 2) 10 3) bas 4) n = 3.6 1018 m-3 61 37 c’est la chromosphère solaire 5) n = 1.3 1015 m-3 c’est la basse couronne solaire 6) νp = 2.8 MHz Une onde de fréquence ν =1 MHz < νp ne s’y propage pas; elle est réfléchie. On met à profit cette propriété pour propager sur des longues distances les ondes radiophoniques par réflexion.