Ondes élastiques en milieu périodique et réfraction négative

Ondes élastiques en milieu périodique et réfraction
négative

Ondes élastiques guidées

Connaître et comprendre les propriétés des ondes élastiques se propageant dans les substrats solides est un préliminaire indispensable. Ce chapitre permet de poser les bases de la propagation des ondes élastiques guidées (par une ou deux surfaces libres) en milieu solide homogène, isotrope et faiblement anisotrope. Les démonstrations présentées dans ce chapitre et dans les annexes A et B sont en grande partie extraites du tome 1 de l’ouvrage Ondes élastiques dans les solides par Daniel Royer et Eugène Dieulesaint .

Propagation d’ondes dans un solide homogène

Dans le cas présent, l’hypothèse d’un solide homogène est posée, à savoir un solide dans lequel les distances interatomiques sont très inférieures aux longueurs d’ondes caractéristiques des phénomènes étudiés. Ainsi, les ondes élastiques se propageant dans un tel solide ne sont pas sensibles à l’action de chaque atome, mais à la structure atomique prise dans son ensemble. A l’application de forces extérieures sur un solide, celui-ci est contraint, les atomes sont alors mis en mouvement et une déformation du solide engendrée. Un solide homogène est dit élastique dès lors qu’il peut revenir dans son état initial une fois toutes les forces extérieures annulées. Le retour à l’équilibre global du système conduit, dans certains cas, à une « oscillation » du milieu. Au niveau atomique, cette oscillation est associée aux mouvements collectifs des atomes qui provoquent la propagation d’un quanta d’énergie de proche en proche, autrement appelé phonons. Toutefois, dans ce travail, l’approche macroscopique, dans laquelle l’état élastique du solide peut être décrit par l’intermédiaire du couple contrainte/déformation, est privilégiée.

Quelques bases d’élasticité

Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes permet de représenter l’ensemble des forces surfaciques susceptibles d’intervenir pour déformer le milieu. C’est un tenseur de rang 2, avec 3 2 = 9 composantes, et est noté Tij (i, j = 1, 2, 3), où par dénition Tij est la i me composante de la force agissant sur un petit élément de surface du solide normale à l’axe j. Dans le cas des phénomènes étudiés, le tenseur des contraintes est symétrique (Tij = Tji), car aucun couple de forces extérieures n’agit sur le solide considéré. Dans ce tenseur, les termes diagonaux, Tii, sont associés à de la compression pure et les termes non diagonaux, Tij (i 6= j), à du cisaillement (voir gure 1.1.1). F F F F V V V − ∆V (a) (b) (c) Figure 1.1.1 Solide de volume V : (a) en l’absence de force extérieure, (b) en cisaillement pure sous l’action de forces extérieures et sans variation de volume, (c) en compression sous l’action de forces extérieures et associé à une variation de volume ∆V . b. Tenseur des déformations Soient deux points matériels A et B, d’un solide donné, initialement positionnés en xj et xj+dxj , se déplaçant l’un par rapport à l’autre et auxquels sont respectivement associés les déplacements ui(xj ) et ui(xj +dxj ) (i, j = 1, 2, 3). Pour de petits déplacements, depuis une position donnée, il est alors possible d’écrire la relation suivante (en omettant les termes non linéaires) : ui(xj + dxj ) ‘ ui(xj ) + ∂ui ∂xj dxj (1.1.1) D’après l’équation 1.1.1, il est possible d’établir un gradient de déplacement tel que : ∂ui ∂xj = 1 2

Influence de l’anisotropie sur la propagation

A la section précédente il a été montré que l’anisotropie d’un solide cristallin peut être dénie à partir du facteur d’anisotropie A (pour le silicium A = 1, 56). Cette anisotropie n’est pas sans conséquence sur la propagation des ondes élastiques. Outre la vitesse de propagation qui devient fonction des directions cristallographiques, le vecteur vitesse de groupe 1 , vg = ∂ω/∂k, n’est plus nécessairement colinéaire à la direction de propagation de l’onde. Cette non-colinéarité est illustrée à la gure 1.1.2, où est schématisée une surface des lenteurs pour un milieu actif fortement anisotrope (la direction du vecteur vg est normale à la surface des lenteurs 2 ). Dans ce schéma, il apparaît clairement que le vecteur d’onde, k, et la vitesse de groupe ne sont colinéaires qu’en certains points très spécifiques de l’espace des k. Dans la section suivante, l’influence de l’anisotropie sur la propagation des ondes de Rayleigh et de Lamb dans le cas particulier du silicium cristallin sera montrée.

Table des matières

Résumé
Abstract
Introduction
1 Pré-requis théoriques et état de l’art
1.1Ondes élastiques guidées
1.1.1 Propagation d’ondes dans un solide homogène
1.1.1.1 Quelques bases d’élasticité
1.1.1.2 Equation de propagation
1.1.2 Ondes élastiques guidées à l’interface air/solide
1.1.2.1 Ondes guidées par une surface libre : onde de Rayleigh
1.1.2.2 Ondes guidées par 2 surfaces libres : ondes de Lamb
1.2Ondes élastiques en milieu périodique : les cristaux phononiques
1.2.1 Cristaux phononiques
1.2.2 Propriétés des structures cristallines
1.2.2.1 Généralités
1.2.2.2 Conséquence de la périodicité : Théorème de Bloch
1.2.3 Principales propriétés des cristaux phononiques
1.2.3.1 Ouverture de gap en fréquence
1.2.3.2 Vers une localisation de l’énergie élastique
1.2.3.3 Réfraction de Bragg et réfraction négative
1.3Réfraction négative des ondes élastiques
1.3.1 Etat de l’art général
1.3.2 Généralités sur le passage de l’interface entre 2 milieux
1.3.2.1 Loi de Snell-Descartes générale
1.3.2.2 Cas extraordinaire : réfraction négative
1.3.3 Vers un milieu homogène articiel : les métamatériaux acoustiques
1.3.4 Inuence de la structure de bande
1.3.4.1 Milieu homogène naturel et ondes de Lamb
1.3.4.2 Milieux phononiques et réfraction de Bragg
2 Conception des échantillons et montages expérimentaux
2.1Echantillons
2.1.1 Gravure du silicium par attaque chimique anisotrope
2.1.1.1 Etapes de fabrication des échantillons
2.1.1.2 Géométrie des cavités après gravure
2.1.2 Gravure de la silice par attaque chimique isotrope
2.1.3 Tableau des diérents types de cristaux phononiques étudiés
2.2Dispositifs expérimentaux pour la génération et la détection d’ondes guidées
2.2.1 Dispositif expérimental au MHz
2.2.1.1 Génération large bande « conventionnelle »
2.2.1.2 Génération monochromatique
2.2.1.3 Détection des déplacements de surface : interféromètre de Michelson et analyse du signal
2.2.2 Acoustique picoseconde pour l’imagerie d’onde de surface au GHz
2.2.2.1 Génération
2.2.2.2 Détection
3 Etudes expérimentales de la propagation d’ondes guidées en milieux périodiques
3.1Dispersion des ondes élastiques en milieu périodique
3.1.1 Gap de Bragg et vitesse de groupe null
3.1.1.1 Schéma d’expérience
3.1.1.2 Résultats expérimentaux
3.1.2 Ondes de Lamb et influence de la géométrie des inclusions phononiques sur les courbes de dispersion
3.1.2.1 Inclusions « sabliers » : conséquence de la forme des inclusions sur les courbes de dispersion
3.1.2.2 Inclusions « sabliers » : symétrie vs dissymétrie en centre de plaque :mise en évidence d’un gap intrabande
3.1.3 Observation expérimentale de la décomposition en ondes planes des modes du cristal phononique
3.1.3.1 Schéma d’expérience
3.1.3.2 Courbes de dispersion numériques
3.1.3.3 Résultats expérimentaux
3.2Réfraction négative d’ondes guidées par un cristal phononique 2D à mattrice solide
3.2.1 Réfraction négative d’une onde Lamb
3.2.1.1 Schéma d’expérience
3.2.1.2 Résultats pour diérentes fréquences
3.2.2 Réfraction négative d’une onde de Rayleigh
3.2.2.1 Schéma d’expérience
3.2.2.2 Résultats pour différentes fréquences
Conclusion et perspectives
Annexes : Ondes Guidées en milieux isotropes
Bibliographie