OSCILLATEUR MÉCANIQUE HORIZONTAL

Un pendule élastique est constitué d’un mobile de masse m = 80 g pouvant se déplacer sur un banc à coussin d’air horizontal. Ce mobile est attaché à un point fixe par un ressort de masse négligeable à spires non jointives, de raideur k. La position du mobile est repérée par l’abscisse x sur l’axe (O, ). A l’équilibre, la position du centre d’inertie G coïncide avec le point O, origine des abscisses. III.1 Etude de l’oscillateur parfait (non amorti) Dans cette partie, on considère que le mobile n’est soumis à aucune force de frottement. III.1.a – Indiquer l’expression vectorielle de la force de rappel du ressort en fonction de l’abscisse x du centre d’inertie du mobile et de vecteur unitaire. III.1.b – Faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur le mobile. Reproduire le schéma ci-dessus et représenter ces forces. III.1.c – A l’aide de la deuxième loi de Newton, établir l’équation différentielle du mouvement (relation entre l’abscisse x(t) et ses dérivées par rapport au temps). lll.1.d – Un dispositif d’enregistrement de la position x du mobile permet de mesurer la valeur T0 de la période du mouvement : T0 = 0,20 s. Quelle est la valeur numérique de la raideur k du ressort sachant que T0 = 2 ? III.2 – Etude de l’oscillateur avec amortissement Le dispositif est modifié et les frottements deviennent plus importants. L’équation différentielle du mouvement a maintenant l’expression suivante : a + .v + .x = 0 a = est l’accélération de G, v = sa vitesse.

A l’aide de l’analyse dimensionnelle, déterminer les unités de  et  dans le système international (S.I.). On a pu déterminer que  = 60 S.l. et  = 1,00.103 S.l. III.2. b – La méthode numérique itérative d’Euler permet de résoudre cette équation différentielle. Un extrait de feuille de calcul pour cette résolution est représenté ci-après : Indice t, a, v, x Instant t (s) Accélération a (m.s-2) Vitesse v (m.s-1) Abscisse x (m) 0 0,00 -30,0 0,00 0,030 1 0,01 -9,0 -0,30 0,027 2 0,02 0,3 -0,39 0,023 3 0,03 4,0 -0,39 0,019 4 0,04 5,1 -0,35 0,016 5 0,05 5,0 -0,30 0,013 6 0,06 4,5 -0,25 0,010 7 0,07 a7 -0,20 0,008 8 0,08 v8 x8 Calculer la valeur numérique de l’accélération a7 à l’instant t7 = 0,07 s à l’aide de l’équation différentielle. III.2. c – Calculer les valeurs de la vitesse v8 et de l’abscisse x8 à l’instant t8 = 0,08 s en utilisant la méthode d’Euler. III.2. d – Tracer la courbe donnant l’abscisse x en fonction du temps sur le papier millimétré à rendre avec la copie. Echelles : 1 cm pour t = 0,01 s et 1 cm pour x = 0,002 m. III.2. e – Quels sont les noms des deux régimes possibles d’un oscillateur ? La courbe précédente permet-elle d’affirmer dans quel régime se trouve l’oscillateur étudié ? Pondichéry 2007 EXERCICE III. : OSCILLATEUR MECANIQUE HORIZONTAL (4 points) Correction.

Etude de l’oscillateur parfait (non amorti) III.1.a – Avec les notations de l’énoncé la force de rappel du ressort s’écrit = – k.x. III.1.b – Inventaire des forces qui s’exercent sur le mobile: – la force de rappel du ressort : – le poids : – la poussée de l’air issu de la soufflerie du banc : On a choisi arbitrairement le point G comme point d’application de ces trois forces. III.1.c – La deuxième loi de Newton appliquée au système « mobile » dans le référentiel terrestre galiléen donne : + + = m.Les deux régimes possibles d’un oscillateur sont : – le régime pseudo-périodique : il y a des oscillations avec amortissement, x change de signe avant de s’annuler ; l’amplitude Xmax diminue à chaque oscillation et la pseudo-période est proche de la période propre si l’amortissement n’est pas trop grand. – le régime apériodique : il n’y a pas d’oscillations, x tend vers 0 sans changer de signe. La courbe obtenue ne permet pas de savoir si il y a des oscillations, il faudrait poursuivre la méthode d’Euler sur une durée plus longue. On ne peut pas savoir dans quel régime se trouve l’oscillateur.