Probabilités et mathématiques

Tests de provenance. Dans un lot de 32 cagettes de fraises , 4 proviennent d’Espagne , 4 d’Italie , 8 de Dordogne et le reste du sud de la France .Les services de la consommation sont chargés de vérifier l’étiquetage des produits . On tire simultanément trois cagettes . 1) Quelle est la probabilité d’avoir une cagette d’Espagne et une seule ? 2) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une cagette italienne ? 3) Quelle est la probabilité d’avoir une cagette espagnole et une italienne ? 4) Quelle est la probabilité d’avoir une cagette espagnole , une italienne et une provenant de Dordogne ? 5) Quelle est la probabilité d’avoir trois cagettes provenant du sud de la France ? EXERCICE 6 : Jeu . Une urne U1 contient 1 boule blanche et 5 boules noires , une urne U2 contient 3 boules blanches et 3 boules noires . On lance une pièce de monnaie , si on obtient face on tire une boule dans U1, sinon on tire une boule dans U2 . Calculer la probabilité des événements suivants : A : on obtient face et on tire une boule blanche . B : on obtient une boule blanche . EXERCICE 7 :Utilisation des probabilités dans l’évaluation d’une couverture publicitaire . Une campagne publicitaire pour un certain produit est diffusée dans trois médias M1, M2, M3 qui couvrent une population donnée selon la répartition suivante : – M1 couvre 1000 personnes, M2 couvre 1200 personnes, M3 couvre 1800 personnes..

M1 et M2 couvrent en même temps 200 personnes – M1 et M3 couvrent en même temps 300 personnes – M2 et M3 couvrent en même temps 400 personnes – M1, M2 et M3 couvrent en même temps 100 personnes. 1) Quelle est la probabilité pour qu’un individu de cette population soit touché exactement deux fois par la publicité concernant ce produit ? 2) Quelle est la probabilité pour qu’un individu de cette population soit touché au moins deux fois par la publicité concernant ce produit ? EXERCICE 8 : Stock . Dans un entrepôt, le stock est constitué d’appareils dont 70% proviennent d’une usine A et 30% d’une usine B. 20 % des appareils venant de A ont un défaut ; cette proportion n’est que de 10 % pour l’usine B. On choisit un appareil au hasard dans le stock. 1) Illustrer la situation par un arbre puis par un tableau . 2) Quelle est la probabilité pour que l’appareil présente un défaut ? 3) L’appareil choisi présente un défaut. Quelle est la probabilité pour qu’il provienne de l’usine B ? 4) Quelle proportion d’appareils n’ayant pas de défaut provient de l’usine A ? EXERCICE 9 : Pièces défectueuses . Quatre lots de pièces contiennent des pièces défectueuses en proportion de 5 %, 5 %, 8 %, 10 %.On choisit un lot au hasard. On tire dans ce lot une pièce. Cette pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans un lot contenant 5 % de pièces défectueuses ? EXERCICE 10 : Banque . Un serveur de banque a calculé qu’un individu essayant un mot de passe au hasard est refoulé 999 sur 1000.

Sachant que l’ordinateur accepte 3 essais de mot de passe avant de couper la connexion , quelle est la probabilité de se connecter au hasard ? EXERCICE 11 : Sondage . On effectue un sondage sur 3 populations A, B, C . la population A contient 5 hommes et 3 femmes ; la population B contient 8 hommes et 6 femmes ; la population C contient 12 hommes et 15 femmes . Le sondage est effectué en deux parties . On choisit une personne dans une population tirée au hasard . Si l’on obtient un homme , on tire une seconde personne dans la même population ; si on obtient une femme , on tire une seconde personne dans une des deux autres populations . 1) Dresser l’arbre correspondant aux différents événements possibles avec les probabilités associées . 2) Calculer la probabilité de tirer deux hommes . 3) Calculer la probabilité de tirer deux femmes . EXERCICE 12: Théorème de BAYES . Un grand magasin est équipé d’un système d’alerte contre l’incendie . L’installateur du système assure qu’en cas de début d’incendie , l’alerte sera donnée avec une probabilité de 0.99 . Mais il faut noter , que l’alarme peut tout de même se déclencher de façon intempestive , donnant lieu à une fausse alerte , avec une probabilité évaluée à 0.007. La compagnie d’assurance considère qu’un incendie peut se déclencher dans ce magasin avec une probabilité égale à 0.001. Si le système se déclenche , quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte ?Quelle conclusion pouvez-vous en déduire relativement au comportement des individus en présence d’un déclenchement d’alarme ? Calculer la probabilité qu’il y ait effectivement un incendie lors d’une alerte.

Organisation d’un service ( partie de sujet d’examen ) Dans un service de réclamations , on classe les problèmes soumis en 2 catégories A et B ; la catégorie A concerne les réclamations liées à des éléments précis et vérifiables , la catégorie B concerne les réclamations liées à une appréciation ou à des données contestables . La catégorie A représente 70% des réclamations et celles-ci sont résolues 7 fois sur 10 par une simple correspondance , 2 fois sur 10 par un rendez-vous et pour le reste transmises au service du contentieux . Par ailleurs 15% du total des réclamations appartiennent à la catégorie B et se résolvent par rendez-vous tandis que 1/5 des réclamations de la catégorie B finissent au contentieux . Le solde des réclamations de la catégorie B se règle par courrier . 1) Définir avec soin les événements relatifs à ce problème . 2) Calculer la probabilité qu’un dossier soit clos par rendez-vous sachant qu’il provient de la catégorie B . 3) Illustrer la situation par un arbre en utilisant le résultat de la question précédente . 4) Construire le tableau correspondant . 5) Quelle est la probabilité qu’une réclamation prise au hasard soit résolue par rendez-vous ? 6) Quelle est la probabilité pour qu’un dossier réglé par une correspondance provienne de la catégorie B ? 7) L’issue donnée à une réclamation est-elle indépendante de sa catégorie ?