Problème de transport en milieux poreux

Construction de la méthode multi-échelle

8.1.1 Hypothèses de départ Nous souhaitons appliquer les résultats obtenus au chapitre 7 pour construire une méthode multi-échelle. Cependant, ces résultats théoriques ont été montrés en considérant l’espace R N . Nous ne pouvons évidemment pas mailler l’espace R N tout entier et il nous est donc impossible de faire des simulations numériques pour résoudre le problème (7.6). Nous allons donc considérer un pavé Ω ⊂ R N aux bords duquel on impose des conditions de périodicité. Les résultats d’homogénéisation qu’on obtiendrait avec des conditions aux bords de type Dirichlet seraient différents (voir [APP12]). Cela est principalement dû au terme de grande dérive b ∗ ε qui pose un problème sur le bord du domaine. Les hypothèses de périodicité sur les conditions aux limites sont donc nécessaires pour l’étude théorique de la méthode mais, en pratique, cette méthode sera aussi appliquée avec des conditions aux bords plus classiques. 

 Définition de la méthode

On souhaite trouver uε ∈ C0  (0, T), L2 #(Ω) ∩L 2  (0, T), H1 # (Ω) solution du problème (8.1) en faisant les hypothèses 8.1. Le but, ici, est de mettre en place une méthode multi-échelle qui pourrait s’appliquer à des cas non-périodiques. On ne va donc pas utiliser le fait que les fonctions ρ ε , Aε et b ε sont des fonctions Y – périodiques de x ε ni que le domaine Ω est muni de conditions aux bords périodiques pour définir la méthode. Cependant, l’erreur d’approximation de cette méthode ne peut être calculée que dans le cas périodique. On considère une famille de maillages grossiers KH de résolution H vérifiant les hypothèses 4.2. On suppose également que H > ε. En pratique, on choisira H au moins de l’ordre de 100 × ε. On introduit ensuite VH, un sous-espace de H1 #(Ω) de dimension finie DH et associé au maillage grossier KH. VH est, dans notre cas, l’espace associé à la méthode aux éléments finis Pk Lagrange. On note donc NPk,H l’ensemble des nœuds associés à cette méthode

Estimation a priori en temps continu

On se place dans le cas périodique et on calcule la solution uε,H dans l’espace C∞ ((0, T), Vε,H) du problème (8.7). On considère ici une discrétisation uniquement en espace. On suppose donc que le système d’équations aux dérivées ordinaires en temps (8.7) est résolu de manière exacte. L’objectif de la suite est d’estimer l’erreur entre la solution uε du problème (8.1) et la fonction uε,H solution du problème (8.7). 

Théorème 8.1. Soit uε la solution du problème (8.1). On considère un maillage KH de résolution H vérifiant les hypothèses 4.2. Sur chaque maille K ∈ KH on résout les problèmes de cellule (8.5) de manière exacte. Chaque maille K ∈ KH est une réunion de cubes de taille ε. On suppose, de plus, que H > ε. On suppose également que les hypothèses 8.1 sont vérifiées. On peut alors construire les fonctions de base multi-échelles Φ ε,H l . On note alors uε,H la solution numérique du problème (8.7). 

Remarques 8.3

La présence du terme en b ∗ ε peut sembler décevante car, stricto sensu, si b ∗ est une grandeur d’ordre 1, l’estimation d’erreur ne tend pas vers zéro avec ε et H. Néanmoins, il faut se souvenir que dans le problème homogénéisé (7.16) (écrit dans un repère fixe) la vitesse homogénéisée est justement b ∗ ε . Par conséquent, d’un point de vue “physique” on peut dire que c’est le terme b ∗ ε qui est une grandeur d’ordre 1, et dans ce cas l’estimation d’erreur 8.9 prouve bien la convergence de la méthode multi-échelle. D’un autre point de vue, ce facteur doit obligatoirement apparaître dans l’erreur du fait que la méthode utilisée est semi-discrète et ne traite pas spécifiquement le terme de convection. En effet, de manière générale, si on souhaite résoudre un problème de convection-diffusion avec une méthode d’éléments finis Pk Lagrange classique, la norme de la vitesse de convection va nécessairement intervenir dans les estimations a priori possibles. Un certain nombre de méthodes numériques adaptées à cette classe de problèmes ont déjà été proposées. On peut citer les méthodes de décentrement [BH82] ou la méthode des caractéristiques [BPS83]. On peut donc penser que l’utilisation de telles méthodes couplées avec les éléments finis multi-échelles présentés dans ce chapitre pourraient donner des résultats plus satisfaisants en terme d’estimations d’erreur. Cela reste un problème ouvert difficile. P. Henning et M. Ohlberger ont construit dans [HO10] une méthode multi-échelle hétérogène pour résoudre le problème (8.1). Ils obtiennent une estimation a priori en considérant une résolution totalement discrète (en temps et en espace). Cette estimation est plus forte que (8.9) puisqu’elle ne comporte pas de terme en b ∗ ε . Cependant, dans cet article, les solutions sont calculées dans le repère mobile x 7→ x − b ∗ t ε . (8.10) Ainsi, il faudrait théoriquement appliquer ce changement de variable aux paramètres physiques ρ ε , b ε et Aε ce qui modifie les problèmes de cellule à résoudre pour chaque itération en temps. En fait, dans [HO10], une hypothèse supplémentaire est supposée vérifiée : ces propriétés physiques dépendent uniquement de la variable x ε et ne varient donc pas à l’échelle grossière. Sous cette hypothèse, le changement de repère (8.10) ne modifie pas les solutions des différents problèmes de cellule. Cette hypothèse est très contraignante et ne pourrait pas s’appliquer dans le cadre de la simulation de réservoir. Le théorème 8.1 se démontre en grâce au lemme suivant qui s’inspire d’un résultat montré dans [Whe73].