Quelques problèmes pouvant éventuellement se résoudre à l’aide d’une équation

Beaucoup de personnes à qui on propose ce problème pensent qu’il serait plus facile si on connaissait le volume de la bassine. Certains décident alors pour voir de choisir un volume arbitraire. Cette idée peut aboutir à une solution correcte ou non suivant la façon dont on l’exploite. Supposons que le volume de la bassine soit 45 litres, alors…… On trouvera ainsi la durée correcte, mais cela ne prouve pas que la durée est la même pour une bassine d’une autre contenance. Une telle supposition peut donc être faite au brouillon pour mieux comprendre le problème, mais n’est pas une solution acceptable. C’est une des occasions où savoir faire la distinction entre grandeur et mesure est utile : si on ne peut pas choisir le volume de la bassine, on peut en revanche choisir la mesure du volume, il suffit pour cela de choisir l’unité qui nous arrange. Les deux entames suivantes conduisent à des solutions correctes. Choisissons le volume de la bassine pour unité de volume. Ou, plus efficace encore : Choisissons l’unité de volume de telle façon que la mesure du volume de la bassine soit 45. (c’est toujours possible, une telle unité est un quarante-cinquième du volume de la bassine).

Choisissons l’unité de volume de telle façon que la mesure du volume de la bassine soit 45. Le premier robinet remplit 45 unités en 9 minutes, donc 5 unités en 1 minute. Le deuxième robinet remplit 45 unités en 15 minutes, donc 3 unités en 1 minute. Les deux robinets ensemble remplissent donc 8 unités en 1 minute, le nombre de minutesDans la version précédente, on se ramène à une durée commune d’une minute pour chacun des robinets. Il est intéressant de remarquer que des informations à durée commune se combinent facilement (si un robinet remplit x en 5 minutes et que l’autre remplit y en 5 minutes, ils remplissent x+y en 5 minutes à eux deux). Il est possible d’exploiter plus à fond cette idée de la façon suivante : Le robinet A remplit une bassine en 9 minutes, donc 5 bassines en 45 minutes. Le robinet B remplit une bassine en 15 minutes, donc 3 bassines en 45 minutes. En 45 minutes, les deux robinets utilisés simultanément rempliraient donc 8 bassines, par conséquent ils remplissent une bassine en de minute, soit 5 min 37,5 s.Version purement algébrique. La mise en équation n’étant pas évidente, préparons la par un exemple numérique. Supposons que la durée nécessaire soit 6 minutes. Le premier robinet remplit une bassine en 9 minutes, de bassine en 1 minutes, et de bassine en 6 minutes. Le second robinet remplit une bassine en 15 minutes, de bassine en 1 minutes, et de bassine en 6 minutes. Comment savoir si 6 minutes est la durée cherchée ? il suffit de calculer . On constate que la somme n’est pas égale à 1 (une bassine) donc 6 n’est pas la solution, mais on sait que si on remplace 6 par le nombre que l’on cherche, la somme sera égale à 1, c’est ce qui nous fournit l’équation.

Pour une distance constante, la vitesse et la durée sont inversement proportionnelles l’une à l’autre. Cela signifie que si on multiplie par 3 une de ces deux grandeurs, l’autre est divisée par 3 (ou multipliée par , ce qui revient au même mais facilite les calculs). Cette idée conduit à la solution suivante : Si Malik augmente sa vitesse de 20%, il la multiplie par , c’est à dire par La durée du trajet est donc multipliée par ce qui revient à la diminuer d’un sixième. 12 minutes, c’est donc un sixième de la durée cherchée. La durée actuelle du trajet est donc de . Solution algébrique : Comme pour l’exercice 7, la préparation de la mise en équation par un exemple numérique est probablement judicieuse bien qu’elle ne soit pas faite dans ce corrigé. Soit t la durée actuelle du trajet de Malik, en heures. On a alors : Le trajet de Malik dure actuellement une heure et douze minutes. Problème 9 Version n’utilisant que des connaissances élémentaires sur les aires et une approche arithmétique. Sur la figure ci-contre, on a dessiné en gris le rectangle initial. La partie blanche correspond à ce qui est ajouté quand on augmente la longueur et la largeur de 3 cm. L’aire de la partie blanche est donc 180 cm2. On remarque que cette partie blanche peut se découper en deux rectangles et un carré ayant tous des côtés de 3 cm. En déplaçant ces trois morceaux, on forme un grand rectangle dont la largeur est 3 cm et l’aire 180 cm2. La longueur de ce rectangle est donc 60 cm. Si on enlève la longueur du côté du carré, on en déduit qu’une longueur du rectangle initial et une largeur du même rectangle mesurent en tout 57 cm. La longueur étant double de la largeur, trois largeurs du rectangle initial mesurent ensemble 57 cm. On en déduit que le rectangle initial avait pour largeur 19 cm et pour longueur 38 cm.