Cours quelques rappels d’algèbre et d’algèbre linéaire, fonctions et compilation séparée, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

UNE INTRODUCTION AUX ALG`EBRES DE HOPF

Algebres et modules
Definition
Soit R un anneau commutatif. Une R-algebre est un anneau A, pas necessairement commutatif ni unitaire, muni d’une structure de R-module compatible, en ce sens que l’on a :
λ(xy) = (λx)y = x(λy) pour tout λ ∈ R et x, y ∈ A.
Si A est unitaire, on note 1_A l’unit´e, ou simplement 1, a` ne pas confondre avec l’unit´e 1 de l’anneau de base R.
Proposition
Soit K un corps, et soit A une K-algebre. Alors

• A est un K-espace vectoriel.
• Le produit induit naturellement une application lin´eaire m : A ⊗ A → A via m(a ⊗ b) := ab.
• Lorsque A est unitaire, l’application u : K → A d´efinie par u(λ) := λ1_A est lin´eaire.
• L’associativit´e du produit et la propri´et´ d’unit´e pour 1_A sont respectivement ´equivalentes a` la commutativit´e des deux diagrammes .

Demonstration. Immediat et laisse au lecteur

Lest id´eaux a` gauche, a` droite et bilat`eres sont d´efinis de la mˆeme mani`ere pour une R-alg`ebre A que pour un anneau, avec la propri´et´ suppl´ementaire d’ˆetre des R-sous-modules de A. Une sous-alg`ebre de A est un sous-anneau qui est aussi un R-sous-module.
Proposition
Soit V un K-espace vectoriel. L’alg`ebre tensorielle T (V )est l’alg`ebre as-sociative unitaire libre engendr´ee par V.
Demonstration
On doit montrer la propri´et´ universelle suivante : pour toute K-alg`ebre unitaire A et pour toute application lin´eaire f : V → A, il existe un unique morphisme d’alg`ebres unitaires f : T (V ) → A tel que le diagramme suivant commute  o`u est le plongement canonique de V dans T (V ). L’application f est alors manifestement d´efinie par :
f (v<sub>1</sub> · · · · · v<sub>p</sub>) := f (v<sub>1</sub>) · · · f (v<sub>p</sub>), o`u le produit est le produit de A dans le membre de droite. Pour p = 0 ceci se r´eduit bien ´evidemment a` f(1) = 1<sub>A</sub>.
Exemple
Soit V un K-espace vectoriel. Soit J l’id´eal bilat`ere engendr´ par l’ensemble {x · y − y · x, x, y ∈ V }, c’est-a`-dire l’intersection de tous les id´eaux bilat`eres contenant cet ensemble. L’alg`ebre sym´etrique de V est d´efinie comme le quotient S(V ) = T (V )/J.
Proposition
S(V ) est l’alg`ebre commutative unitaire libre engendr´ee par V .
Demonstration.
Montrons d’abord que S(V ) est une alg`ebre commutative. Soient v = x<sub>1</sub> ·· · ··v<sub>p</sub> et w = y<sub>1</sub> · · · ·· y<sub>q</sub>. Il faut montrer que [v, w] = v · w − w · v appartient a` J. On le voit facilement par r´ecurrence sur p + q : les cas initiaux p + q = 1 et p + q = 2 sont ´evidents. Si p + q ≥ 3, alors p ≥ 2 ou q ≥ 2. Supposons ici p ≥ 2. Alors
[v, w]   =     x₁ · · · · · x_p · y₁ · · · · · y_q − y₁ · · · · · y_q · x₁ · · · · · x_p x₁ · · · · x_p · y₁ · · · · · y_q − x₁ · y₁ · · · · · y_q · x₂ · · · · · x_p +x₁ · y₁ · · · · · y_q · x₂ · · · · · x_p − y₁ · · · · · y_q · x₁ · · · · · x_px₁ [x₂ · · · · · x_p, y₁ · · · · · y_q] + [x₁, y₁ · · · · · y_q] · x₂ · · · · · x_p
appartient a` J par hypoth`ese de r´ecurrence. Le cas q ≥ 2 is trait´e de mani`ere analogue.
Montrons maintenant la propri´et´ universelle : soit f : V → A une application lin´eaire, et soit f : T (V ) → A l’unique prolongement de f en un morphisme d’alg`ebres unitaires. Comme A est commutative, on a de mani`ere ´evidente f <sub>|J</sub> = 0. Donc f se factorise a` travers S(V ) = T (V )/J, induisant un morphisme d’alg`ebres commutatives unitaires f : S(V ) → A faisant commuter le diagramme suivant :
Ici = π ◦ , et π : T (V ) → V est la projection canonique. L’application f ainsi construite est unique car (V ) engendre l’alg`ebre S(V ).
Definition
Soit A une alg`ebre unitaire sur le corps K. Un module a` gauche sur A est un K-espace vectoriel M muni d’une application lin´eaire.
Un A-module a` gauche M est simple s’il ne contient aucun sous-module a` part {0} et M. Un module a` gauche est dit semi-simple s’il peut s’´ecrire comme somme directe de modules simples.

Cogebres et comodules

Definition
Soit K un corps. Une K-cog`ebre est un K-espace vectoriel C muni d’une application lin´eaire : A → C ⊗C co-associative, c’est-a`-dire telle que le diagramme suivant commute
Une cog`ebre est co-commutative si de plus τ ◦= Δ, o`u τ : C ⊗ C est la volte, d´efinie par τ (x ⊗ y) := y ⊗ x.
Definition 
Soit C une K-cog`ebre. Un sous-espace vectoriel J ⊆ C est applel´ :
— une sous-cog`ebre si Δ(J) ⊆ J ⊗ J,
— un co-id´eal a` gauche si Δ(J) ⊆ C ⊗ J,
— un co-id´eal a` droite si Δ(J) ⊆ J ⊗ C,
— co-id´eal bilat`ere si Δ(J) ⊆ C ⊗ J + J ⊗ C.
Proposition
Soit K un corps. Le dual C<sup>∗</sup> d’une K-co`gebre est co-unitaire est une K-alg`ebre unitaire. le produit (resp. l’unit´e) est donn´e par la transpos´ee du coproduit (resp. de la co-unit´e).
Demonstration.
On a m =<sup>t</sup> = (C ⊗ C)<sup>∗</sup> → C<sup>∗</sup>. le produit m est donn´e par la restriction de m a` C^∗ ⊗ C^∗ (qui est contenu in (C ⊗ C)^∗, et ceci strictement si C est de dimension infinie).
La preuve de l’associativit´e est facile et laiss´ee au lecteur, de mˆeme que les axiomes de l’unit´e pour la transpos´ee de la co-unit´e u =^tε : C^∗ → K.
Pour tout el´ement x d’une cog`ebre C, le coproduit x ∈ C  C est une somme finie d’´el´ements ind´eecomposables. Ceci permet l’emploi de la notation de Sweedler
L’´equation (2.2.1) doit ˆetre mani´ee avec pr´ecaution, car la d´ecomposition en ind´ecomposables n’est pas unique. Elle peut toutefois ˆetre fort utile dans certains calculs. Par exemple, le coproduit it´er´ s’´ecrit avec la notation de Sweedler :
(Δ ⊗ Id)Δx = x1:1 ⊗ x1:2 ⊗ x2, (x)
(Id ⊗Δ)Δx = x1 ⊗ x2:1 ⊗ x2:2. (x)
Les deux expressions sont ´egales par co-associativit´e, et s’´ecrivent alors plus simplement :
(Δ ⊗ Id)Δx = (Id ⊗Δ)Δx =x₁ ⊗ x₂ ⊗ x₃.

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