REDACTION D’EXERCICES DE MECANIQUE DES FLUIDES

ECOULEMENTS TURBULENTS

Une galerie de section circulaire dont la longueur est 4 km est destinée à amener en charge un débit de 50 m³/s d’eau à une centrale hydroélectrique. Brute de perforation, elle présente un diamètre moyen égal à 5 mètres et des aspérités dont les dimensions moyennes sont de 0,6 m. On envisage de la revêtir de béton, dont la mise en place coûte 450 FHT/m³, ce qui ramènerait son diamètre à 4,80 m, mais en éliminant les aspérités, lui assurerait un coefficient de perte de charge l égal à 0,02.Sachant que l’on ne veut pas consacrer à cette opération plus de dix fois l’économie annuelle d’énergie ainsi réalisée et calculée sur la base de 0,53 FHT le kWh et d’une durée annuelle de fonctionnement égale à 6 000 heures, déterminer s’il y a lieu de bétonner.

ANALYSE DIMENSIONNELLE : application du théorème de Vaschy-Buschingham

 Un nombre sans dimension est un rapport entre deux grandeurs ou groupements de grandeurs ayant la même dimension. Le théorème de Vaschy-Buschingham permet de connaître la dimension d’une grandeur u en fonction de n grandeurs indépendantes.

Le déversoir

Un bac est alimenté en eau à l’aide d’une pompe et sur un coté, une ouverture est réalisée. La forme de cette ouverture est modifiable : elle peut être rectangulaire ou triangulaire.

Application 

De nombreux barrages sont constitués de trappes rectangulaires actionnées à l’aide de vérins. En connaissant la largeur du barrage et la hauteur du niveau d’eau du barrage suivie à l’aide d’un capteur, il est possible de déterminer le débit d’eau souhaité se déversant dans la rivière.

SIMILITUDE DES ECOULEMENTS

 Exercice 1 

Un bloque de béton de masse M₁ = 100 kg, immergé dans l’eau, est entraîné par glissement au fond d’une rivière dès que l’eau atteint une vitesse de 3 m/s. Quelle doit être la vitesse de l’eau pour faire glisser un bloque semblable de masse M₂ = 150 kg ?

Exercice 2 : la digue

Une digue constituée par un empilement de blocs de béton de masse unitaire  est soumise à la houle. La digue ne subit pas de dommages tant que la hauteur  ne dépasse pas 0,30 m.Quelle devra être la masse minimale  des blocs de béton pour que la digue résiste à une houle de hauteur  ?

Résolution 

La jetée commence à se détériorer lorsque le poids apparent P des blocs n’est plus suffisant pour s’opposer aux efforts hydrodynamiques F dus à la houle. On peut donc écrire :Ces efforts sont proportionnels à la surface apparente des blocs et au carré de la vitesse de l’eau sur les blocs. On a donc :Les poids apparents des blocs de même densité étant entre eux égaux aux cubes de leurs dimensions linéaires,