STABILITÉ HOMOTOPIQUE DES POINTS CRITIQUES ISOLÉS DES FONCTIONS CONTINUES

 Résumé 

Dans ce chapitre, nous étudions la stabilité homotopique des points critiques isolés des fonctions continues définies sur des espaces métriques complets. En plus du principe variationnel et de la pente forte déjà introduits dans le chapitre 2, nous utiliserons pour cela la notion de pente faible et les Techniques de déformation de la théorie des points critiques introduits dans [34, 39. En utilisant également le principe de cchangement de métrique introduit dans [31, nous donnons ainsi une approche plus simple et claire des résultats principaux de Io e et Schwartzman [59, on ernant le cas des minimiseurs lo aux. Dans le même cadre, nous donnons aussi un résultat de stabilité homotopique des groupes critiques d’un point critique isolé, étendant un résultat de K.-C. Chang [24 etabli pour des fon tions de classe C2 définies sur un espace de Hilbert. Ce chapitre reprend pour l’essentiel l’article [35 par rapport auquel nous donnons i i des rappels et des détails de démonstration supplémentaires, mais nous omettons quelques commentaires bibliographiques. 

Introduction 

Soient X un espace de Hilbert et (f)2[0;1 une famille de fonctions de classe C2 définies sur une boule fermée B(a)  X, telle que pour tout  2 [0;1, f satisfait la condition classique de Palais-Smale dans Br(z) et z est l’unique point critique de f. Il est établi dans [19 que si l’application  7! f est continue par rapport à la topologie C1 et si z est un minimiseur (qui est nécessairement strict) de f 0, alors z est aussi un minimiseur de f pour tout  2 [0;1. Plus généralement, il est établi dans [24 que les groupes critiques Cq(f; z), q 2 Z, sont indépendants de . Ce type de résultat est obtenu en utilisant les techniques de déformation de la théorie des points critiques, et conduit à des applications de la méthode classique d’homotopie 3. Stabilité homotopique des points critiques isolés 28 a des problèmes variationnels : on observe en e et que, sous les hypotheses faites, la fonction f : [0;1  X ! R définie par f (;u) := f(u) (u 2 H) est continue, c’est-a dire f est une homotopie entre f0 et f1. Motivés par des applications a des problèmes du Calcul des variations ou, de fa on naturelle, les fon tionnelles associés ne sont pas différentiables, et l’espace fonctionnel sur lequel elles sont bien denies n’est pas un espace de Hilbert, Ioe et Schwartzman [59 ont étendu le premier résultat (le cas des minimiseurs) au cadre général où X est un espace métrique complet et les f sont continues. Dans leurs démonstrations ils ont utilisé une extension convenable de la notion de point critique permettant de développer les techniques de déformation. Un ingrédient essentiel dans leur approche est le théorème dit \du puits de potentiel » [59, Theorem 2, donnant une estimation a priori de la taille du puits de potentiel asso ie à un minimiseur lo al stri t. Il nous est apparu que les Techniques et les arguments utilisés dans la preuve de ce dernier résultat sont très complexes et rendent la démonstration deli apte à comprendre. Notre première motivation est donc de donner une démonstration plus claire et simple de ce résultat. Dans ce but, nous utilisons les outils et les méthodes de la théorie métrique des points critiques introduite indépendamment dans [34, 39, et basée sur la notion de pente faible (introduite aussi indépendamment dans [62), laquelle dière légèrement de la notion correspondante de [59]. Comme son nom l’indique, la pente faible est plus petite que la pente forte. Dans notre approche, nous utilisons le principe de cchangement de métrique introduit dans [31, 32 qui nous permet d’invoquer une version (relativement) simple du principe de déformation (une légère extension de [32, Theorem 2) pour donner une démonstration transparente du théorème du puits de potentiel. Pour établir le théorème de stabilité homotopique d’un minimiseur lo al, il s’agit, de fa on classique, de montrer que l’ensemble : X est un espace métrique muni d’une distance notée d.

La pente faible 

Soient f : X ! R une fonction continue et 2 X. On appelle la pente faible de f en u, qu’on note jdf j(u), la borne supérieure des réels positifs  tels qu’il existe 3. Stabilité homotopique des points critiques isolés 30 Æ > 0 et une fon tion H : BÆ (u)  [0;Æ ! X continue qui varient d(H(v;t);v)  t ; (3.1) f (H(v;t))  f (v) .