Suivi 3D de nanoparticules d’or par holographie digitale
Principe de l’holographie
L’holographie est une technique interférométrique qui permet d’enregistrer le champ diracté par un objet éclairé par une lumière cohérente. L’onde diracté par l’objet étudié interfère avec une onde de référence, appelée généralement oscillateur local, et génère ainsi un motif d’intensité, ou hologramme, qui peut être enregistré sur un support photosensible. L’holographie à été inventée en 1948 par le physicien hongro-britannique Dennis Gabor [39], dont la motivation était d’enregistrer séparément la phase et l’amplitude du signal émis dans un microscope électronique. L’invention du laser dans les années 60 a permis l’utilisation de l’holographie en optique. A l’origine, les hologrammes étaient enregistrés sur des plaques photographiques, qui une fois développées permettaient de restituer une image de l’objet étudié. L’apparition de capteurs photosensibles, type CCD (Charged-Coupled Device) puis CMOS (Complementary Metal Oxide Semi-conductor) a permis d’une part l’enregistrement dynamique des hologrammes et d’autre part l’étude quantitative des variations d’amplitude et de phase de l’onde étudiée. Les premières expériences utilisant ce type de support ont été réalisées dans les années 70 [40], donnant naissance à l’holographie digitale. Dans cette section, nous allons rappeler le principe de la formation des hologrammes et expliquer comment reconstruire un hologramme enregistré sur une plaque photographique. Nous rappellerons également les conditions de cohérence nécessaire à la formation d’hologramme. Puis nous présenterons l’holographie digitale, ainsi que la reconstruction numérique des hologrammes.
Enregistrement d’un hologramme sur une plaque photographique
L’expérience la plus simple pour illustrer la formation des hologrammes est d’illuminer un objet partiellement transparent placé devant une plaque photographique par une onde plane monochromatique ER(x, y, z) d’intensité IR, comme le montre la gure I.1. L’onde diractée par l’objet ES(x, y, z) va interférer avec l’onde d’illumination ER et former un motif d’interférence que l’on enregistre sur un lm photographique en zp. Le champ lumineux total au niveau de la plaque est alors : EH(x, y, zp) = ER(x, y, zp) + ES(x, y, zp) (I.1) L’intensité d’un champ lumineux est dénit comme la moyenne temporelle de l’énergie traversant une section unitaire pendant 1 seconde. I = ǫ0chE 2 (x, y, z)it (I.2) En notation complexe, et dans un soucis de clareté des écritures, on notera simplement : I = |EE∗ | (I.3) L’intensité IH enregistrée sur la plaque photographique se décompose en quatres termes : IH(x, y) = IR + IS(x, y) + ER(x, y)E ∗ S (x, y) + E ∗ R(x, y)ES(x, y) (I.4) Les deux premiers termes de l’équation I.4, IR = |ER(x, y, zp)| 2 et IS(x, y) = |ES(x, y, zp)| 2 , sont respectivement les termes d’intensité de l’onde de référence et de l’onde diractée par I.A Principe de l’holographie 11 Figure I.1 Dispositif d’enregistrement d’un hologramme sur une plaque photographique. L’onde de référence ER se propage le long de l’axe z et interfère avec la lumière diractée par l’objet ES sur la plaque photographique. l’objet. IR est homogène sur la plaque photographique et donc ne dépend pas de x et y. Les troisième et quatrième termes proviennent de l’interférence entre les deux ondes. Ces termes sont des complexes conjugués, ainsi la somme est réelle. L’amplitude et la phase de l’onde émise par l’objet est directement contenue dans le quatrième terme. Après développement de la plaque photographique, sa fonction de transmission t(x, y) est proportionnelle à l’intensité IH. On peut alors reconstruire un objet virtuel en retirant l’objet réel et en illuminant la plaque photo par une onde identique à celle d’illumination. La gure I.2 illustre le processus de reconstruction. La plaque photographique de transmission t(x, y) ∝ IH(x, y) illuminée par une onde ER(x, y). Le champ diracté ED(x, y) par l’hologramme au niveau de la plaque photographique (en z =zp) est la somme de trois ondes complexes comme le montre l’équation I.5 : ED(x, y) ∝ ER(x, y)t(x, y) (I.5) ∝ ER(x, y) (IR + IS(x, y)) +E 2 R(x, y)E ∗ S (x, y) +IRES(x, y) (I.6) le premier terme, appelé ordre zéro, restitue l’onde de référence à un coecient de proportionnalité près. le deuxième terme est l’ordre −1 de diraction. Il contient le complexe conjugué de l’onde diracté par l’objet. Cette onde forme une image réelle de l’objet. le quatrième terme, proportionnel à ES, est l’ordre +1, il restitue un objet virtuel à l’endroit exact où était placé l’objet lors de l’enregistrement. Ce terme contient l’information sur l’amplitude et la phase de l’onde émanant de l’objet. Ce terme étant proportionnel à IR, l’onde diracté par l’objet peut donc être ampliée dans le cas où l’onde de référence est plus intense. 12 Holographie digitale à décalage de phase Figure I.2 Relecture de l’hologramme developpé. L’hologramme est illuminé par une onde de référence identique à celle utilisée lors de l’enregistrement. La diraction à travers l’hologramme donne trois ondes, l’ordre 0 qui est une onde plane proportionelle à l’onde de référence, l’ordre 1 restituant l’objet et l’ordre -1 qui est son complexe conjugué. Ces trois ordres sont superposés le long de l’axe optique en holographie dans l’axe. Cependant dans cette conguration dites dans l’axe , ces trois ondes diractées se superposent le long de l’axe optique. Il est donc impossible d’isoler cette troisième onde des deux autres. En 1963, Leith et Upatnieks [23,41] ont proposé un dispositif holographique dit hors axe permettant de séparer spatialement les 3 ordres de diractions lors de la relecture de l’hologramme. L’holographie hors-axe est l’objet du paragraphe suivant. On verra plus tard dans ce chapitre I.C que l’holographie à décalage de phase est un autre moyen d’isoler le terme d’intérêt de l’équation I.5.
Holographie classique hors-axe
Un exemple de dispositif holographique en géométrie hors-axe est illustré sur la gure I.3. L’onde de référence ER est séparée de l’onde d’illuminatio EI par une lame séparatrice et forme un angle θR avec l’onde diractée par l’objet ES. Lors de l’enregistrement de l’hologramme, l’onde totale au niveau de la plaque photographique s’écrit : EH(x, y, zp) = ER(x, z) e −ikx sin θR + ES(x, y), (I.7) où k = 2π/λ. L’intensité enregistrée sur l’hologramme s’écrit alors : IH(x, y) = IR + IS(x, y) + e ikx sin θR ERE ∗ S (x, y) + e −ikx sin θR E ∗ RES(x, y) (I.8) Pour reconstruire l’hologramme, on retire l’objet réel et on illumine l’hologramme avec une onde plane parallèle à l’axe optique. L’onde diractée par l’hologramme notée ED se décompose en trois ondes qui se propagent dans des directions diérentes comme l’illustre la gure I.4 : ED ∝ ER (IR + IS) +e ikx sin θR E 2 R · E ∗ S +e −ikx sin θR E 2 R · ES (I.9) I.A Principe de l’holographie 13 Figure I.3 Dispositif d’enregistrement d’un hologramme en géométrie hors-axe sur une plaque photographique. L’onde de référence ER se propage dans une direction faisant un angle θR avec l’axe optique. L’objet est illuminé par une onde d’illumination EI . Figure I.4 Relecture de l’hologramme en géométrie hors-axe. L’hologramme est illuminé par l’onde d’illumination. La diraction à travers l’hologramme donne à nouveau trois ondes qui se propagent dans des direction diérentes. Dans cette géométrie, les 3 ordres sont spatialement séparés. le premier terme est l’onde de référence se propageant dans la direction de l’axe z. les deuxième et troisième termes se propagent dans des directions faisant respectivement un angle θR et −θR avec l’axe z. Il existe une valeure minimale à l’angle θR pour assurer une séparation parfaite du quatrième terme avec l’ordre zéro. Cette valeur minimale dépend de l’étendu spectrale ∆kS de l’onde signal ES au niveau de la plaque photographique. Ceci s’explique en passant dans le domaine des fréquences spatiales [42, 43]. On utilisera les notations suivantes pour le transformation de Fourier : FFT (I.10) I(x, y, z) → ˜I(kx, ky, kz) E(x, y, z) → E˜(kx, ky, kz) La transformée de Fourier ˜IH(kx, ky) = F [IH(x, y)] de l’intensité IH(x, y) s’écrit dans le domaine des fréquences spatiales : ˜IH(kx, ky) = ˜IR + ˜IS(kx, ky) + ERE˜∗ S (kx + k sin θR, ky) + E ∗ RE˜ S(kx − k sin θR, ky) (I.11) La gure I.5 représente ˜IH(kx, ky) dénit à l’équation I.11 dans le domaine des fréquences spatiales le long de l’axe kx. ˜IH(kx, ky) est composée de quatres termes. Le premier terme est le spectre de l’onde de référence, que l’on suppose uniforme sur la plaque photographique. Sa transformée de Fourier est donc un pic en 0. Le second terme est le spectre de l’intensité de l’onde diractée par l’objet. Sa largeur est le double de l’étendu spectrale du champ ES, soit 2∆kS et est centré en 0. Les deux derniers termes ont pour largeur ∆kS et sont centrés sur les fréquences spatiales ±k sin θR. La condition de séparation des termes est donc : sin θR ≥ 3∆kS 2k . (I.12) Cette condition constitue une limite inférieure pour le choix de l’angle θR en holographie hors-axe. On verra dans la partie I.B.2 qu’une limite haute à l’angle θR est xée par le choix du support d’enregistrement de l’hologramme, particulièrement en holographie digitale. En eet, la fréquence spatiale ajouté par l’angle θR ne doit pas sortir de la bande passante du support.
Introduction |
