Sur l’origine de la déviation à la loi de Darcy dans des structures poreuses modèles 2D

 Introduction

Comme mentionné avant, l’explication précise de l’origine et de la forme de la déviation à la loi de Darcy demeure insuffisante dans la littérature malgré les suggestions évoquées (formation de foyers d’inertie, tortuosité, etc) dans le chapitre 1. Afin d’apporter des éléments de réponse à cette question, une analyse approfondie de la structure microscopique de l’écoulement est réalisée dans ce chapitre afin de comprendre la physique qui sous tend le comportement non-linéaire à la loi de Darcy. Des structures poreuses modèles 2D semblables à celles considérées dans le chapitre 2, de porosité  = 75%, sont étudiées. Elles consistent, comme le montre la Fig. 3.1, en deux structures ordonnées et deux autre désordonnées. Les premières consistent en un treillis ordonné de cylindres parallèles à section droite, carrée (appelée OS) ou circulaire (OC), tandis que les secondes en, un treillis désordonné de cylindres parallèles à section droite carrée (DS) ou circulaire (DC). Les structures désordonnées sont obtenues de la même manière que celles utilisées au chapitre 2. La valeur  = 75% est retenue du fait que les mécanismes qui surviennent au sein de l’écoulement (variation de la tortuosité des ligne de courant avec le nombre de Reynolds par exemple) s’accentuent à mesure que  augmente, comme l’atteste les résultats du chapitre 2. Cette valeur de  convient donc plus pour l’analyse de la structure microscopique de l’écoulement. Il est important de noter par ailleurs que la dépendance de l’intensité de l’inertie par rapport à  est conditionnée par le choix du nombre de Reynolds [75]. En effet, alors que l’intensité de l’inertie diminue avec l’augmentation de  en raisonnant en termes de Rek [75], un comportement inverse 3.2. Modèle physique et méthodologie 63 a été observé en considérant Red [66]. La correction non-linéaire (inertielle) à la loi de Darcy est déterminée, sur ces structures 2D, pour un écoulement stationnaire de fluide newtonien monophasique incompressible, à partir de la résolution numérique de problèmes de fermeture [143]. Ces problèmes ainsi que leur méthode de résolution seront détaillés dans la section 3.2. A partir de ces résultats, les différents régimes d’écoulement sont identifiés et les impacts de la forme des grains, du désordre structurel et de l’orientation du gradient de pression moyenne, sur la correction inertielle sont analysés et présentés dans la section 3.3. Finalement, le développement de la structure microscopique de l’écoulement en fonction de Rek est analysé en termes de courbure des lignes de courant, distribution de l’énergie cinétique et tortuosité. Le rôle des zones de recirculation est aussi discuté. 3.2 Modèle physique et méthodologie 3.2.1 Problème aux valeurs initiales et aux limites L’écoulement stationnaire d’un fluide newtonien monophasique incompressible β dans des conditions isothermes à travers les structures 2D de la Fig. 3.1, est considéré. En supposant qu’un VER (de longueur caractéristique l) peut être extrait de chacune de ces structures, le problème aux valeurs initiales et aux limites adimensionnel régissant cet écoulement est le même que celui posé dans le chapitre 2, Eqs. 3.5. De la même manière, l’analyse est effectuée en l’absence de gravité avec Re∗ F r  1.

Modèle macroscopique

En satisfaisant les conditions de quasi-stationnarité de l’écoulement, de périodicité spatiale de la structure poreuse et la contrainte sur les échelles de taille lβ  r0  L (Eq. 1.7), un modèle macroscopique de transfert de quantité de mouvement [144] peut être dérivé à l’aide de la prise de moyenne des équations microscopiques de conservation de quantité de mouvement et de masse (Navier-Stokes Eqs. 3.5) et des conditions aux limites sur un VER du milieu pseudo-périodique. Le modèle ainsi obtenu est plus complet comparé à l’équation classique de Forchheimer basée sur l’introduction de coefficients empiriques à la loi de Darcy. Par ailleurs, pour des structures périodiques (Figs. 3.1a et 3.1b), la contrainte des échelles devient, comme dans d’autres travaux, [75, 102, 103] lβ ∼ r0  L .