Un principe de minimum pour l’élasto-plasticité

Dans ce chapitre nous proposons une approche alternative de l’élastoplasticité basée sur un principe de minimisation de la somme de l’énergie élastique et de l’énergie dissipée, c’est-àdire un modèle à dissipation simple (Ehrlacher et Fedelich, 1988, 1989, 1997). Pour commencer, nous donnons dans le premier paragraphe la solution du problème de la traction simple monotone avec une approche classique. Dans le deuxième paragraphe, nous donnons la solution du problème de la traction simple monotone en postulant un principe de minimum sur « l’énergie totale », somme de l’énergie élastique et de l’énergie dissipée. Avec cette deuxième approche, nous retrouvons, de manière directe et très économe en calculs, la solution obtenue avec l’approche classique. Bien évidemment, cette approche par minimisation d’une fonctionnelle ne peut pas être généralisée à tous types de chargement, mais nous définissons une classe particulière d’évolutions élastoplastiques, que nous appellerons les évolutions simples radiales, pour lesquelles il est possible de démontrer l’équivalence entre les équations classiques de comportement et d’équilibre et celles obtenues à l’aide d’un principe de minimum sur « l’énergie totale » pour les évolutions « simples radiales » que nous formulerons plus complètement dans le troisième paragraphe. Dans le quatrième paragraphe, pour illustrer la démarche de minimum, nous allons appliquer ce principe de minimum au premier exemple simple du chapitre 3.

Solution du problème de la traction simple monotone avec une approche classique

Nous allons dans ce paragraphe présenter l’analyse exacte d’un essai en traction simple. La différence principale par rapport aux exemples du chapitre 3 tient au fait que, dans une expérience de traction simple l’histoire de la transformation n’est pas imposée, mais seulement l’élongation principale dans la direction de traction. En revanche le vecteur contrainte est imposé nul sur les faces latérales de l’éprouvette. Considérons un repère orthonormé   321 ,, eee et supposons que la traction est effectuée suivant 1 e . Le gradient de la transformation est alors diagonal dans la base choisie et les composantes 22 et 33 sont identiques par raison de symétrie.

Solution du problème de la traction simple en postulant un principe de minimum sur « l’énergie totale »

L’exemple pourtant très simple de la traction uniaxiale a permis de montrer que les calculs en grandes transformations, pour un comportement élastoplastique, sont complexes. Cela rend ardue la tâche de proposition d’une modélisation simplifiée des processus de laminage. Nous allons dans ce paragraphe postuler un principe de minimum d’énergie dont nous allons montrer qu’il donne des résultats cohérents avec l’approche ci-dessus dans le cas de la traction uniaxiale monotone. Ce postulat de minimum d’énergie n’est pas équivalent au comportement élastoplastique décrit plus haut, mais il donne une bonne approximation des champs lorsque le chargement est « monotone », et que l’on peut donner un certain sens au concept de « croissance » de la déformation plastique. C’est ce qui sera fait au paragraphe suivant. Le modèle élastoplastique du comportement est alors remplacé par un modèle à « dissipation simple » (Ehrlacher A. and Fedelich B. , 1988), (Ehrlacher A. et Fedelich B. , 1989), (Ehrlacher A. and Fedelich B. , 1997), dont on sait qu’il permet l’élaboration commode de modèles simplifiés. Dans les modèles à « dissipation simple », l’énergie dissipée (intégrale dans le temps de la puissance dissipée) peut être exprimée à l’aide des variables d’état. Ce n’est pas le cas en général en plasticité, mais lorsque le trajet de chargement est suffisamment « monotone », il est possible d’approcher cette énergie dissipée par une fonction des variables d’état.