Analyse dimensionnelle

La mise à l’échelle dans un contexte d’écoulement diphasique dans les réservoirs fracturés dépend du bilan des forces motrices régissant les échanges entre le réseau de fractures et les blocs matriciels (Forces capillaires, effets visqueux..). Le régime d’écoulement dépend à la fois des caractéristiques pétrophysiques du réservoir et des conditions d’écoulement (vitesse d’écoulement dans les fractures, conditions aux limites …). Les mécanismes qui dominent les échanges matricefractures peuvent être identifiés par des simulations fines qui sont très couteuses en temps de calcul et en espace mémoire. Pour éviter d’effectuer tous ces calculs, et les faire à bon escient, on a recours à l’analyse dimensionnelle. 

Aperçu bibliographique sur l’analyse dimensionnelle

 Historiquement parlant, l’objectif principal de l’analyse dimensionnelle était de trouver un (ou des) critère permettant d’extrapoler des expériences effectuées sur maquette au laboratoire à une plus grande échelle (échelle plus réelle) . Les mécaniciens des fluides en sont friands (construction navale, aéronautique). Cette démarche a depuis diffusé dans l’ensemble de la modélisation physique et de la simulation. Buckingham fut le premier à mettre en place une technique d’analyse dimensionnelle à partir des équations physiques. Selon cet auteur, le nombre de critères adimensionnels qu’on peut tirer d’une équation physique dépend du nombre de paramètres présents dans l’équation, des dimensions de ces différents paramètres et des degrés de libertés liant ces paramètres. Dans le domaine de la mécanique des fluides, il existe deux manières d’effectuer l’analyse dimensionnelle. La première manière dite classique, se base sur le théorème de Pi-Buckingham . Elle a été utilisée par Johnson et Fox et McDonald pour fournir des solutions pour l’équation de Navier Stockes ce qui a servi à définir le nombre de Reynolds qui compare l’importance des forces d’inertie et des forces visqueuses. La deuxième manière est appelée l’analyse dimensionnelle dite d’inspection (« inspectional analysis » en anglais). Cette analyse a été développée par Ruark . Elle est le plus utilisée dans des problématiques d’écoulement liées à l’industrie pétrolière [146]. En milieu poreux, un exemple type est l’analyse comparant l’importance de la contribution des forces capillaires à l’écoulement par rapport aux forces visqueuses et aboutissant à l’établissement du nombre capillaire. 

Utilité de l’analyse dimensionnelle 

L’analyse dimensionnelle permet de ramener deux expériences (numérique ou réelle), qui ont lieu dans deux domaines spatiaux d’échelles différentes, dans un espace adimensionnel. Ceci permet de comparer les deux expériences dans un même espace-temps. Mathématiquement, si deux problèmes physiques décrits par les mêmes équations ont les mêmes représentations sans dimension, alors les solutions des dites équations sont identiques. Ceci permet donc de comparer des problèmes entre eux et d’ajuster les caractéristiques physiques de l’expérience sur maquette. Dans la réalité pratique, on arrive rarement à égaliser l’ensemble des nombres sans dimension. On doit donc faire un choix des grandeurs que l’on estime importantes, et celles que l’on abandonne. Ainsi dans l’exemple d’une maquette d’avion à une échelle donnée, on pourra ajuster la vitesse de déplacement de la maquette de façon à bien reproduire la trainée et la portance de l’engin, mais on ne pourra respecter simultanément le nombre de Mach. Les conclusions obtenues seront alors dépendantes du phénomène étudié. Selon Novakovic  , l’analyse dimensionnelle permet de mettre en avant : Les effets physiques : Si deux milieux, ayant deux étendues à deux échelles différentes, ont le même nombre adimensionnel, les forces physiques dominant l’écoulement dans les deux milieux sont les mêmes. Les conditions aux limites : Le nombre adimensionnel permet d’adapter les conditions aux limites pour contenir les différences dues à la différence d’échelles de réalisation. La forme du réservoir : Le nombre adimensionnel permet de corriger les résultats pour supprimer les erreurs dues à la différence de forme indépendamment de l’échelle de réalisation. La dispersion numérique et physique : Pour une même valeur du nombre adimensionnel, les deux expériences effectuées à différentes échelles spatiales ne contiennent pas de différences dues à une dispersion numérique ou physique.

Analyse dimensionnelle dans un contexte d’écoulement dans les réservoirs pétroliers Leverett et al.  furent les premiers à appliquer l’analyse dimensionnelle dans un contexte d’écoulement dans les réservoirs pétroliers. L’objet de l’analyse dimensionnelle était de corriger les paramètres (perméabilité, tension interfaciale) pour comprendre le déplacement immiscible de l’huile par l’eau à grande échelle (échelle du réservoir) à partir d’expériences réalisées à l’échelle de la carotte. Rapoport   a effectué une analyse dimensionnelle pour étudier l’injection d’eau. Geersma et al.  se sont intéressés à l’injection de l’eau chaude et du solvant pour récupérer l’huile lourde. L’analyse dimensionnelle de Rojas et al.   a porté sur l’injection du pour récupérer l’huile lourde. Plusieurs auteurs  ont travaillé sur la satisfaction de tous les nombres adimensionnels dans le but d’effectuer des expériences au laboratoire qui reproduisent le comportement à l’échelle du réservoir. Comme dit plus haut, ceci a amené certains auteurs  à négliger certains nombres adimensionnels (par exemple le Nombre de Reynolds) dans un contexte d’écoulement dans les réservoirs pétroliers. L’analyse dimensionnelle sur les critères géométriques a fait l’objet de quelques travaux  . L’hétérogénéité des réservoirs a fait l’objet d’autres travaux  . Plusieurs travaux récents ont porté sur l’analyse dimensionnelle dans divers contextes , Plusieurs auteurs ont effectué des analyses dimensionnelles pour un écoulement dans les réservoirs fracturés dans des contextes différents de celui abordé dans le cadre de cette thèse .

Nombres adimensionnels pour l’écoulement diphasique

 L’analyse dimensionnelle dans un contexte d’écoulement diphasique porte principalement sur la définition des régimes d’écoulement ainsi que les différentes forces le dominant. Les forces contrôlant l’écoulement diphasique sont de natures visqueuses, capillaires et gravitaires. Pour étudier l’écoulement diphasique dans les réservoirs pétroliers, on a recours à plusieurs nombres adimensionnels. Novakovic [141] a construit un tableau contenant les différents nombres adimensionnels utilisés dans un contexte d’écoulement dans les réservoirs pétroliers avec les différents définitions et commentaires (cf. Tableau 11).