Utilités progressives et changement de numéraire

Nous avons vu dans le chapitre précédent, comment les EDP stochas- tiques que satisfont les utilités progressives sont difficiles à étudier, car com- plètement non linéaires et non intuitives. Dans ce chapitre, nous approfondis- sons la question du changement de numéraire abordée dans l’exemple 4.3.2 du chapitre 4. Nous montrons comment notre définition des utilités progressives 4.3, contrairement à celle de Zariphopoulou et al., laisse cette nouvelle notion invariante par changement de numéraire. Nous montrons uniquement par véri- fication qu’il existe une équivalence entre les utilités progressives d’un marché et celles d’un second, obtenu à partir du premier par un changement de numé- raire dans le théorème 6.1. Dans la section 6.3, nous établissons les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman et les EDP stochastiques que satisfont les utilités progressives d’un nouveau marché de numéraire Y (un processus d’Itô). Ces équations peuvent êtres beaucoup plus compliquées que celles du chapitre précé- dent, si le numéraire est quelconque : les contraintes sur les portefeuilles dans le nouveau monde ne sont pas en général des cônes convexes et les opérateurs de projection sont plus compliqués et perdent beaucoup de leurs propriétés es- sentielles. Dans le dernier paragraphe de ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre d’un numéraire très particulier et qui est le numéraire de marché noté (Hr,η)−1. Le nouvel univers d’investissement est alors un univers où les richesses admissibles sont des martingales locales, c-à-d. que le taux court et la prime de marché sont nulles (˜intuitives. Ce qui nous permet de simplifier les calculs et surtout, avec beaucoup moins de paramètres, de mieux comprendre les enjeux et le rôle de la volatilité Γ.

Nous avons vu dans le cas particulier de l’exemple 4.3.2 du chapitre précé- dent où Z = 1, que toute fonction d’utilité v est une utilité progressive dans un univers d’investissement où les processus de richesses sont des martingales locales sous la probabilité P et dans lequel la stratégie π ≡ 0 est une stratégie Une première partie de ce chapitre sera alors dédiée à la généralisation de ce résultat. Dans une seconde partie, nous étudierons la possibilité de se placer dans un numéraire particulier dans lequel, à la fois, le taux court et la prime de marché sont nuls. En effet, ceci va nous permettre de simplifier de manière très significative la dynamique (5.37) d’une utilité progressive ainsi que l’expression (5.35) de la stratégie optimale pour devenir simplement de la forme :Comme nous l’avons déjà évoqué dans l’introduction, le but de cette pre- mière section est de généraliser le résultat établi dans un cas particulier ; celui de l’exemple 4.3.2. Pour cela, nous considérons, à la place d’une simple fonc- tion d’utilité classique v, une fonction (v(t, .))t≥0 qui peut être éventuellement un processus stochastique.

Changement de numéraire

Comme nous l’avons déjà évoqué dans l’introduction, le but de cette pre- mière section est de généraliser le résultat établi dans un cas particulier ; celui de l’exemple 4.3.2. Pour cela, nous considérons, à la place d’une simple fonc- tion d’utilité classique v, une fonction (v(t, .))t≥0 qui peut être éventuellement un processus stochastique. Cette fonction doit vérifier la condition minimale suivante :Nous ne considérons que des processus Y continus et strictement positifs et ce afin de garder les propriétés de la stricte monotonie et de la concavité de u. La question qui se pose alors est la suivante : la propriété de concavité portée sur v est-elle suffisante pour que les assertions (ii) et (iii) de la définition 4.3 soient satisfaites par le nouveau processus u défini par (6.3) ?Démonstration. La preuve de ce théorème est basée sur le fait que la définition 4.3 est invariante par changement de numéraire. En effet, supposons que u est une utilité progressive sur le marché de départ Mr,η. Il est alors facile de vérifier.