Adaptation de maillage pour la macroségrégation

Au cours du développement des modules de macroségrégation dans THERCAST, plusieurs cas de calculs ont été testés sur différents lingots avec différents maillages. Ces tests ont mis en évidence qu’il était nécessaire d’appliquer des règles de bon sens lors de la génération du maillage initial, par exemple en raffinant le maillage à proximité des parois et dans la zone de refroidissement pour bien capter les forts gradients thermiques initiaux. Toutefois il est rapidement devenu clair que si cette approche permettait d’obtenir d’assez bons résultats sur de petits lingots, elle devenait irréaliste pour des lingots de plusieurs tonnes. Le remaillage adaptatif étant devenu nécessaire, une étude a été lancée pour déterminer les critères de remaillage les plus appropriés dans le cas de la simulation de la macroségrégation. maillages, nous verrons brièvement les particularités du remailleur MTC développé au Cemef. Ensuite un calcul simple nous montrera l’effet important du maillage sur la simulation numérique de la macroségrégation. Enfin nous expliquerons la philosophie du remaillage adaptatif et la stratégie développée au cours de cette étude. Un cas d’application du remaillage illustrera le fonctionnement de cette méthode.  remailleur utilisé, il convient de préciser quelques définitions permettant de percevoir les bases mathématiques de cette discipline. Une approche plus exhaustive de la génération des maillages est présentée dans [FREY, 1999]. La plupart des définitions présentées ici en sont extraites. représentation géométrique de volume par des éléments simples. En effet alors que la définition d’une triangulation est basée sur un contour convexe de points, la seconde correspond à la représentation d’un volume. Ces deux approches se rejoignent lorsque l’on considère un volume convexe dont la surface a été discrétisée. Cependant les volumes étudiés sont bien souvent très complexes et le traitement des zones concaves peut parfois être un problème pour les générateurs de maillages. Nous verrons donc dans la suite comment MTC, le mailleur topologique développé au Cemef résout ce type de problèmes.

Définition d’une métrique

La génération d’un maillage est une opération complexe que nous n’aborderons que très rapidement lorsque nous décrirons le mailleur MTC. Mais un aspect important dans la génération d’un maillage est que l’on essaye en général d’optimiser le maillage généré, c’est- à-dire d’avoir des éléments aussi réguliers que possible. Cela correspond à des tétraèdres équilatéraux pour un espace normé standard. Cependant il est possible de raffiner le maillage dans certaines zones en utilisant la même méthode d’optimisation mais en l’appliquant sur un espace Riemannien pour lequel la mesure de la distance est définie localement. Cette mesure locale est appelée métrique. On suppose qu’en tout point P de ℜ3 est donné un tenseur de métrique, sous la forme d’une matrice , (3×3) symétrique définie positive. Si le champ de tenseur ainsi défini est continu, il induit alors une structure riemannienne ℜ Il est important de noter dans cette formule que la métrique M qui sert à calculer le produit scalaire peut être une fonction de la position spatiale. Le calcul des distances devient alors beaucoup plus complexe même si il peut être simplifié, par exemple on peut poser comme hypothèses que la métrique est constante dans chaque élément de notre maillage pour obtenir une approximation des distances. D’autres hypothèses plus précises ont été développées ainsi que des outils de manipulation de métriques mais ces points particuliers ne sont pas nécessaires à la compréhension de la méthode de remaillage présentée ici et nous renvoyons pour ces points à [GRUAU, 2004].

On voit ainsi apparaître une matrice de rotation qui représente la direction du maillage. D’autre part les coefficients diagonaux ont été écrits de cette manière car ils mettent ainsi en valeur les tailles hi de la métrique dans chacune des directions. En effet si un élément respecte ces tailles dans chacune des directions alors il sera équilatéral au sens de la métrique M et donc le maillage correspondant sera optimal pour la métrique M. La métrique est aussi fréquemment représentée par une ellipse en 2D (un ellipsoïde en 3D) comme l’illustre la Figure 3-2. Cette représentation permet de mieux visualiser la forme des éléments que l’on devrait obtenir en appliquant une telle métrique avec le mailleur. Cette première définition induit déjà quelques remarques d’ordre général. En premier lieu, il convient de remarquer que l’adaptation se fait en fonction d’une résolution numérique et n’est donc pas indépendante de la méthode de résolution. Il se peut qu’une résolution nécessite par exemple une taille d’élément plus faible qu’une autre résolution pour avoir tout de même une précision équivalente dans les résultats. En second lieu, cette approche est particulièrement efficace sur des problèmes stationnaires pour lesquels on peut conduire une adaptation du maillage progressive qui produit alors une solution de grande qualité. Dans le cas de la résolution d’un problème instationnaire, le maillage ne sera pas toujours adapté à la solution que l’on est en train de calculer, il y a aura toujours un décalage entre le maillage et la solution numérique. Cela induira par la suite une discussion sur la définition d’une période adéquate de remaillage.