ALGEBRE LINEAIRE

MATIERES PREMIERES 

Considérer toutes les progressions arithmétiques sur R :
a) peut-on « additionner » deux progressions arithmétiques ?
b) peut-on « multiplier » une progression arithmétique par un réel ?
c) choisissez 3 progressions arithmétiques et montrez qu’il est possible d’exprimer l’une d’elle comme combinaison linéaire des 2 autres.
d) donner une représentation géométrique de l’ensemble des progressions arithmétiques

Considérer les tables de différences (cf. chapitre 1) correspondant aux « colonnes de gauche » suivantes :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
* * * *
* * * *
(C0) (C1) (C2) (C3)
et donner les polynômes qui leur sont associés, P0(x), P1(x), P2(x), P3(x)
* Exprimer à l’aide des Pi(x) le polynôme associé à la table de différences dont la première ligne est 1, 2, 9, 28, 65, 126, …
Considérer l’ensemble des matrices
avec a, b * R
* Que peut-on dire de l’addition de 2 de ces matrices ? de leur multiplication par un réel ?
* On donne:
Sont-elles linéairement indépendantes ?

UNE DEFINITION POUR RASSURER CEUX QUI EN ONT BESOIN :

(d’après L. MIRSKY, An Introduction to Linear Algebra, O.U.P. 1955 )
Un ensemble V a une structure de vectoriel réel et sera noté ℝ,V,+, *, s’il est muni de deux opérations notées + et *, vérifiant les conditions suivantes, quels que soient les éléments X, Y, Z dans V et r, s dans ℝ :
• V,+ est un groupe commutatif :
– X + Y = Y + X (+ est interne, partout définie, commutative)
– X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (+ est associative)
– l’équation d’inconnue Z : Y + Z = X admet une solution et une seule
• compatibilité de la multiplication scalaire avec les autres opérations :
1 . X = X
r . (s . X) = (r . s) . X (compatibilité de . scalaire et de . réelle)
r . (X + Y) = r . X + r . Y (. scalaire distribue l’addition vectorielle)
(r + s) . X = r . X + s . X (. scalaire distribue l’addition réelle)

DIMENSION : L’INFINI !

a) Considérer l’ensemble des suites réelles ( U1, U2, U3, …, Un, …)
Ui * 
Pouvez-vous donner une base de ce vectoriel ?
b) Considérer l’ensemble des polynômes à coefficients réels ( pn (x) ) avec n * ℝ. Montrer qu’on peut également lui associer une base de cardinal dénombrable.
c) Par contre, pour l’ensemble des fonctions définies sur l’intervalle *0, 1* il serait vain de rechercher une base finie ou dénombrable (pourquoi ?).
Notre « ancien » concept de dimension ne suffit pas pour traiter cet exemple, qui sort du cadre où il était « bien défini » …

APPLICATION LINEAIRE DANS ℝ, ℝn, +, *

a) Exprimer par équation des applications linéaires de types suivants:
1°) projection de ℝ3 sur ℝ2 dans une direction de droites donnée
2°) projection de ℝ3 sur ℝ dans une direction de plans donnée
3°) projection de ℝ3 sur 0
b) Dans ℝ2, on donne les images des vecteurs de base e1 et e2 par une application linéaire L; donner ses équations.
Représenter géométriquement cette situation.