Alternative Unfolding HOSVD

Le chapitre 2 a montré que la HOSVD pouvait permettre d’adapter les algorithmes rang faible à des contextes tensoriels. Néanmoins, la projection orthogonale associée à la HOSVD est limitée car elle prend en compte une structure rang faible tensorielle particulière. C’est pourquoi une nouvelle définition de rang tensoriel, qui généralise la notion de n-rang, est proposée dans ce chapitre. A partir de cette nouvelle structure, une nouvelle décomposition tensorielle orthogonale, l’AU-HOSVD est ensuite introduite. Les propriétés de cette nouvelle décomposition sont étudiées. En particulier, on montre qu’il est possible d’étendre le concept de projection orthogonale tensorielle à ces nouvelles structures rang faible. Cette contribution a fait l’objet d’un article soumis dans la revue IEEE Transactions on Signal Processing [13]. Dans le chapitre précédent, une illustration de l’utilisation de l’algèbre multilinéaire en traitement d’antenne pour l’estimation de direction d’arrivée a été présentée. Dans ce cas l’utilisation, de la HOSVD s’est révélée plus ou moins pertinente, avec dans certains cas, un gain en terme de performances par rapport à l’approche vectorielle. Toutefois, cette décomposition n’est pas la mieux adaptée à tous les types de données.Le calcul des éléments de la HOSVD repose sur la décomposition en valeurs singulières d’un seul type de matrice dépliante. Dans le cas d’un tenseur A d’ordre trois, seules trois matrices dépliantes sont utilisées, [A] , alors que sept dépliements sont possibles (voir figure 3.1). Ces trois matrices sont obtenues en dépliant le tenseur dans chaque dimension prise séparément, ne permettant d’utiliser qu’un certain type de structure. Dans le cadre de la réduction de rang, cela se traduit par l’utilisation des n-rangs (voir paragraphe 1.5.3). Ainsi, si aucun des n-rangs d’un tenseur n’est déficient, la HOSVD ne permet pas de faire de la réduction de rang. Dans ce cas, l’approche tensorielle n’apporte aucune amélioration par rapport à une approche vectorielle.

Par ailleurs, il existe des données dont les n-rangs ne sont pas déficients mais qui présentent une structure rang faible. Cette structure se situe alors dans une combinaison de dimensions, qui correspond aux matrices dépliantes laissées de côté par la HOSVD. On peut aussi imaginer des cas où certains des n rangs sont déficients mais où les rangs « associés à une combinaison de dimensions » permettent de mieux estimer le sous-espace de rang faible. Pour prendre en compte ces cas, il paraît pertinent de proposer uneidée d’information liée à une combinaison de dimensions et ainsi définir une structure rang faible tenso- rielle plus générale. Ensuite, deux nouveaux opérateurs tensoriels seront présentés : ils seront utiles pour définir l’AU-HOSVD. Il sera alors possible d’étendre le concept de projection orthogonale tensorielle à ces nouvelles structures rang faible.L’introduction de l’AU-HOSVD nécessite de formaliser le concept de « combinaison de dimensions » évoqué dans le paragraphe précédent. Pour ce faire, on va être amené à proposer un nouveau type de rang tensoriel. Ensuite, deux nouveaux opérateurs vont être proposés : une nouvelle façon de déplier les tenseurs et un nouveau produit entre un tenseur et une matrice.

Les dépliements classiques transforment un tenseur en matrice. Un nouvel opérateur est proposé. Cet opérateur transforme un tenseur en un tenseur contenant les mêmes éléments mais d’ordre inférieur afin de pouvoir regrouper des dimensions entre elles.Ainsi les traitements basés sur l’AU-HOSVD qui seront proposés par la suite dépendront du choix de la partition. Ce choix posera un certain nombre de questions. Faut-il tester toutes les partitions ? Peut-on en éliminer certaines en fonction de l’application ? … Des éléments de réponses seront donnés dans le chapitre suivant.L’existence et les propriétés de base de l’AU-HOSVD ayant été démontrées, on peut maintenant s’intéresser à ses propriétés pour des tenseurs rang faible. Il est naturel de s’appuyer sur le rang donné par la définition 3.2.1 et donc de considérer un tenseur de rang faible (r). Cependant, on ne peutpas envisager l’existence d’un tenseur de dimensions réduites. En effet, les rangs étant associés à une combinaison de dimensions, il n’est pas possible de prévoir comment chaque dimension associées à un rang donné seraient réduite. Il n’est pas possible d’obtenir une formule pour faire de la réduction de rang avec l’AU-HOSVD. En revanche, on va voir dans la proposition suivante qu’il est possible de proposer une extension de la notion de projection orthogonale proposée pour la HOSVD (voir paragraphe 1.5.3).