Amélioration du schéma multi-dimensionnel paramétré par une fonction

Description du schéma MD1f

Il existe un grand nombre de schémas multi-dimensionnels pour l’advection scalaire linéaire ou non linéaire dans la littérature scientifique, comme par exemple les travaux de Colella [30], d’Edwards [39], de Lamine [68], de Kozdon et al. [60] et plus récemment de Hamon et al. [55]. Pour l’advection linéaire, les ingénieurs IFP Energies nouvelles ont développé leur propre méthode [12, 71] implémentée dans divers logiciels. Dans le cadre de cette thèse, seul le schéma de Kozdon est étudié car il est le seul possédant un paramètre de réglage, en vue de la minimisation de l’anisotropie, détaillée §4.3. Néanmoins, sous l’hypothèse d’une vitesse uniforme et suivant le choix du paramètre de réglage, il est équivalent à d’autres schémas multi-dimensionnels comme le schéma de Colella [30] ou encore le schéma de Roe et Sidilkover [82]. Dans [60,63–65], le schéma MD1f est utilisé pour discrétiser les équations du système issues de la formulation par phases (2.2). Il est proposé ici d’appliquer ce schéma sur la formulation en flux fractionnaire comme cela est fait dans [55]. À la différence des travaux de Hamon et al., où ils utilisent une discrétisation totalement implicite en temps, le schéma de Kozdon est employé avec la discrétisation IMPES en temps.

Forme générale

La description du schéma MD1f passe avant tout par la définition des zones d’interaction dont l’ensemble forme un maillage dual. Celui-ci est construit en joignant les centres des mailles du maillage initial comme illustré sur la figure 4.1. Ainsi, la maille Mi,j fait partie de quatre zones d’interaction représentées par l’exposant (m) et numérotées localement de 1 et 4 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre en commençant par le coin inférieur gauche. 88 4.1. Description du schéma MD1f • • • • M3 M1 M2 M4 a1 a2 a3 a4 na1 na2 haque maille est subdivisée en quatre sous-mailles d’une zone d’interaction différente et chaque arête est coupée en deux demi-arêtes de zones d’interaction différentes. Au sein d’une même zone d’interaction, les sous-mailles et les demi-arêtes sont numérotées comme illustrées par la figure 4.2. Le sens des normales à chacune des demi-arêtes y est indiqué et est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans la suite, pour la zone d’interaction (m), les inconnues de pression et de saturation dans chacune des sous-mailles k, k ∈ {1, .., 4} seront notées p (m) k et s (m) k . Ces inconnues sont définies aux sommets des zones d’interaction (voir figure 4.3) et comme ces sommets coïncident avec les centres des mailles, il vient pi,j =p (1) 3 = p (2) 4 = p (3) 1 = p (4) 2 , (4.1a) si,j =s (1) 3 = s (2) 4 = s (3) 1 = s (4) 2 .

Minimisation de l’anisotropie 

Cette section va permettre d’identifier des fonctions ψ dites « optimales » selon un critère à définir. L’étude va concerner l’erreur longitudinale et l’erreur en terme croisé. En effet, d’après la figure 4.5, la fonction SMU semble minimiser l’erreur en terme croisé en maillage carré. Cependant, dans l’article de [63] où cette fonction est décrite, il n’est pas expliqué comment cette fonction est déterminée. La minimisation ci-après va permettre de retrouver cette fonction et de l’étendre en maillage rectangulaire. Le calcul sur l’erreur longitudinale a également été choisi de sorte à reprendre la méthode du chapitre 3.