Analyse vectorielle, divergence, rotationnel

Exercice 1 : signification physique de div v et de rot v pour un écoulement 2D dans le plan (xOy) de vitesse v (vx , vy) en coordonnées cartésiennes ou (vr , vθ) en coordonnées polaires En coordonnées cartésiennes (x, y), on définit avec (∂/∂x, ∂/∂y) opérateur « nabla »: div v = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y = .v et rot v = (∂vy/∂x – ∂vx/∂y) ez = Λv (orthogonal au plan xOy) div v = caractérise la variation spatiale du champ des vitesses dans sa propre direction; rot v caractérise la variation spatiale du champ des vitesses dans la direction orthogonale En coordonnées polaires (r, θ), on a: div v = (1/r) ∂(rvr)/∂r + (1/r) ∂vθ/∂θ et rot v = (1/r) [ ∂(rvθ)/∂r – ∂vr/∂θ] ez div v caractérise un mouvement convergent ou divergent; rot v caractérise un mouvement de rotation. 1) on donne le champ de vitesse suivant: v = x ex calculer div v, rot v et l’équation des lignes du champ des vitesses 2) on donne le champ de vitesse suivant: v = y ex calculer div v, rot v et l’équation des lignes du champ des vitesses 3) en coordonnées polaires, que vaut le rotationnel d’un mouvement radial de vitesse v = v(r) er ? Quelle est l’équation et la nature des lignes de champ ? 4) en coordonnées polaires, quelle est la dépendance en r du seul mouvement radial de vitesse v = v(r) er qui soit à divergence nulle ? 5) en coordonnées polaires, que vaut la divergence d’un mouvement orthoradial de vitesse v = v(r) eθ ? Quelle est l’équation et la nature des lignes de champ ? 6) en coordonnées polaires, quelle est la dépendance en r du seul mouvement orthoradial de vitesse v = v(r) eθ qui soit à rotationnel nul (irrotationnel) ? 7) on suppose qu’au point M (x, y) dans un fluide en rotation, v(M) = Ω ez Λ OM où Ω est la vitesse angulaire (rd/s). Calculer div v, rot v et l’équation des lignes du champ des vitesses. Préciser le sens de rotation selon le signe de Ω. 8) on suppose qu’au point M (x, y) dans un fluide, v(M) = k OM où k est une constante. Calculer div v, rot v et l’équation des lignes du champ des vitesses. Préciser le caractère convergent ou divergent selon le signe de k. Réponses : 1) div v = 2, rot v = 0 équation des lignes de champ y = constante (droites parallèles à l’axe Ox) Remarque: v varie dans sa propre direction (ex) et ne varie pas dans la direction orthogonale (ey) 2) div v = 0, rot v = – ez équation des lignes de champ y = constante (droites parallèles à l’axe Ox) Remarque: v varie dans la direction orthogonale (ey) et ne varie pas dans sa propre direction (ex) 3) rot v = 0, équation des lignes de champ θ = constante (droites en étoile) 4) v(r) proportionnel à 1/r v v 77 Analyse vectorielle, divergence, rotationnel 5) div v = 0, équation des lignes de champ r = constante (cercles concentriques) 6) v(r) proportionnel à 1/r 7) Avec v (-Ω y, Ω x, 0), div v = 0, rot v = 2 Ω ez (Ω ez vecteur tourbillon) équation des lignes de champ x² + y² = constante (cercles concentriques). Rotation dans le sens trigonométrique si Ω > 0, horaire si Ω < 0. 8) Avec v (kx, ky, 0), div v = 2k (convergent si k < 0, divergent si k > 0), rot v = 0 équation des lignes de champ y = α x (droites en étoile). 

Mesure expérimentale des vitesses, effet Doppler

Exercice 2 : cinématique d’une boucle coronale solaire

On s’intéresse au mouvement fluide dans une boucle magnétique coronale observée dans la raie Halpha de l’hydrogène à 656.28 nm. 6 positions d’une particule fluide ont été mesurées toutes les 300 s et superposées sur la figure en noir et blanc. En même temps, les vitesses radiales ont été mesurées au spectrographe. Pour la position 1, on montre les images correspondantes. 1) estimer la vitesse de déplacement du fluide en km/s dans le plan du ciel entre les positions 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4, 4 et 5, 5 et 6 le plus simplement possible (v = distance parcourue/temps). 2) le mouvement dans le plan du ciel est-il accéléré ou ralenti ? 3) en position 1, le mouvement orthogonal au plan du ciel est-il d’approche ou d’éloignement ? à gauche: 6 positions d’une particule fluide. 300 s se sont écoulées entre chaque position. L’image couvre un champ de 74752 x 74752 km² (images de 512 x 512 pixels avec 1 pixel = 146 km). Ci dessous, les images en intensité et en vitesses radiales de la position 1 (bleu = mouvement d’approche; rouge = mouvement d’éloignement).

Réponses : 1) vitesse dans le plan du ciel en km/s 10.8 km/s 15.6 km/s 17.1 km/s 21.0 km/s 23.4 km/s 2) accéléré 3) approche 

Exercice 3 : cinématique des vitesses radiales d’une protubérance solaire

 Le satellite IRIS de la NASA est équipé d’un spectrograhe UV qui étudie la raie du magnésium ionisé à 279.635 nm de longueur d’onde centrée sur le trait vertical du graphique ci dessous. On a observé 6 points d’une protubérance numérotés de 0 à 5. Pour chacun des 6 points, dire s’il s’agit d’un mouvement radial d’approche, de repos, ou d’éloignement, et donner la valeur absolue en km/s de la vitesse radiale déduite du décalage Doppler, en prenant la position des pics d’émission pour mesurer ces décalages (méthode approximative, le centre de gravité est préférable).