Approche par variance nulle afin d’orienter le choix des probabilités

Approche par variance nulle afin d’orienter le choix des probabilités

Choix des paramètres libres

Cette section a pour objectif d’introduire les choix faits pour les derniers paramètres libres : le champ de ˆkη(x), la densité de probabilité des nombres d’onde pH(η), la probabilité Pm(x) associée à chaque espèce moléculaire, la probabilité Pı(x) associée à chaque transition ı pour une espèce moléculaire m donnée, ainsi que le critère ζ à partir duquel l’algorithme permute d’un traitement déterministe des collisions (energy-partitioning) à un traitement stochastique par test de Bernoulli. Ces différents termes arbitraires n’ont une incidence que sur les taux de convergence de la méthode proposée et n’influent en rien sur le caractère de solution de référence de l’algorithme présenté à la Fig. 5.4. Les propositions faites ici résultent d’un travail d’optimisation qui a consisté à affiner petit à petit les modèles choisis par une approche de type essai-erreur, jusqu’à atteindre un taux de convergence satisfaisant pour chacun des 6 cas d’étude proposés dans [André et Vaillon, 2010]. Les choix proposés ne sont certainement pas optimaux et nous pensons qu’un important travail les concernant sera nécessaire dans la continuité de ces travaux. L’objectif de cette section n’est donc pas de faire des propositions conduisant à un algorithme plus rapide ou plus performant qu’un autre, mais de prouver la faisabilité pratique, dans des temps de calcul acceptables, de l’approche présentée dans ce chapitre. La principale difficulté concerne très probablement la définition des champs de ˆkη(x) ainsi que des probabilités Pm(x) et Pı(x). En effet, comme mis en évidence à la Sec. 5.2.3, il est souhaitable de définir ces trois paramètres libres de sorte à garantir l’inégalité ˆkη(x)Pm(x)Pı(x) > ha,m,ı,η(x) (5.32) pour éviter d’éventuels problèmes d’augmentation brutale de la variance (tels que ceux présentés au Chap. 4) qui seraient causés par des coefficients hn,m,ı,η(x) négatifs. Ces choix sont donc très critiques en termes de convergence. Trois leviers d’optimisation : ˆkη(x), Pm(x) et Pı(x) sont alors offerts pour que l’Eq. 5.32 soit vérifiée pour tout nombre d’onde, toute espèce moléculaire, toute transition et en tout point (i.e. pour toute température, pression et composition chimique). Nous avons alors choisi de procéder de la façon suivante : • nous définissons le champ ˆkη(x) comme le produit d’un facteur α constant et d’un champ arbitraire ˜kη(x) majorant idéalement pour tout η et tout x le champ du coefficient d’absorption ka,η(x) : ˆkη(x) = α˜kη(x) (5.33) • nous nous concentrons sur le choix des probabilités arbitraires Pm(x) et Pı(x); • nous ajustons la constante α de sorte à vérifier dans la quasi-totalité des cas l’Eq. 5.32. La valeur du paramètre α sera donc conditionnée par la qualité du choix des probabilités Pm(x) et Pı(x). Si celles-ci respectaient les conclusions de l’approche par variance nulle alors un facteur α = 1 serait suffisant, mais si ces probabilités sont sous-estimées localement (pour un nombre d’onde et une transition donnés), la valeur de α devra être augmentée en conséquence. Choix du champ de ˆkη(x). En s’appuyant sur les conclusions de l’approche par variance nulle (voir Sec. 5.3.2), le champ de ˆkη(x) = α˜kη(x) doit être le plus proche possible du champ de coefficient d’aborption ka,η(x). La constante α ne jouant un rôle que de facteur correctif permettant d’assurer la condition de l’Eq. 5.32 quelle que soit la qualité des probabilité Pm(x) et Pı(x), nous nous concentrons donc ici sur le champ de ˜kη(x). Dans un premier temps nous avons défini le champ de ˜kη(x) comme uniforme et indépendant des nombres d’onde. Le paramètre α a été augmenté progressivement dans chacun des six cas d’étude, jusqu’à ce qu’aucun coefficient négatif de collision nulle hn,m,ı,η(x) ne soit rencontré pendant le calcul de luminance L(x0, u0) intégrée entre ηmin = 10cm−1 et ηmax = 15000cm−1 . Les temps de calcul, assurant une erreur relative de 1%, obtenus suite à ce premier modèle de ˆkη(x), sont compris entre 1mn pour le cas C1 à 5h30 pour le cas C6 3 . Pour comprendre pourquoi ces temps sont si importants et différents, il est nécessaire d’analyser la dépendance spatiale et spectrale du coefficient d’absorption (voir Fig. 5.6, où trois spectres d’absorption produits pour 3 points du cas d’étude C3 sont représentés). En définissant ˜kη(x) comme une constante majorant en tout point et pour tout nombre d’onde le coefficient d’absorption ka,η(x), on constate qu’excepté pour les nombres d’onde où le coefficient d’absorption est très important, ˜kη(x) majore très largement (jusqu’à un facteur 1011) le coefficient d’absorption. Cela se traduit algorithmiquement par une proportion de collisions nulles très conséquente. Puisque ces collisions nulles n’ont que peu d’effet sur la convergence de l’algorithme, et ne permettent pas de mettre fin à la récursivité d’une réalisation (voir Fig. 5.4), cela explique les temps de calcul importants, d’autant plus si les dimensions caractéristiques sont grandes. On mesure alors les importantes marges d’amélioration qui peuvent être réalisées en détaillant de façon plus rigoureuse le champ de ˜kη(x). Nous avons alors fait appel à des spectres d’absorption haute-résolution. Le point important ici, est que ces spectres n’ont pas besoin d’être en cohérence avec les données spectroscopiques ou avec les hypothèses spectrales faites pour la simulation d’intérêt. Ces spectres doivent simplement permettre de vérifier l’Eq. 5.32 tout en minimisant autant que possible la quantité de collisions nulles rencontrées. Idéalement, ils doivent être choisis de sorte à majorer légèrement les champs de coefficients d’absorption réels pour tout nombre d’onde. Si tel n’est pas le cas, une augmentation du facteur α permettra de corriger cette mauvaise estimation. Il est important de rappeler que, dans la mesure où le champ de ˆkη est arbitraire, les choix faits ici n’influent en rien sur le caractère exact de la méthode de Monte-Carlo, il n’a pour seul but que d’accélérer les temps de calcul 

Résultats obtenus pour les cas d’étude considérés

L’algorithme présenté à la Fig. 5.4 a été appliqué aux six cas d’étude rassemblés dans le benchmark proposé dans [André et Vaillon, 2010] avec les choix de paramètres libres présentés précédemment. Sauf indication contraire, les calculs ont été réalisés en considérant des profils de raie lorentziens et en utilisant une troncature des ailes de raie à une distance de 25cm−1 de leur nombre d’onde central. Les Fig. 5.8, 5.9 et 5.10 ont pour but d’illustrer le type de résultats que l’on peut attendre de l’approche présentée dans ce chapitre. Il devient ainsi possible de modifier les hypothèses spectrales (troncature de raies, profil des raies, etc.) ou les données spectroscopiques à partir desquelles est décrit le coefficient d’absorption (bases de données, intensité en dessous de laquelle on néglige les raies, etc.) et de constater les effets de ces modifications sur une observable radiative sans avoir à produire de nouveaux spectres de haute-résolution en cohérence avec ces modifications. Ces figures illustrent, pour le cas C2, les luminances Lη(x0, u0) moyennes pour plusieurs bandes étroites de 25cm−1 (définies de 1175 à 1925cm−1 ) estimées par l’algorithme introduit à la Fig. 5.4 avec 104 réalisations indépendantes. Les intervalles de confiance sont également fournis pour chaque estimation. À titre de validation, un calcul raie-par-raie basé sur des spectres haute-résolution (produits à partir de HITEMP 2010) est également représenté en trait plein sur chacun des trois graphiques. Quelles que soient les hypothèses ou données spectroscopiques considérées, chacune des simulations, dont les résultats sont illustrés par ces trois graphiques, a utilisé strictement le même algorithme et le même jeu de paramètres La figure Fig. 5.8 rassemble les résultats de simulations lancées à partir de différentes bases de données : Hitemp 2010, Hitemp, Hitran 2008. La figure Fig. 5.9 illustre le fait qu’il est possible de mesurer l’effet des seuils minimums d’intensité (en dessous desquels les raies sont négligées) sans avoir à produire de nouveaux spectres. Elle représente les luminances moyennées par bandes étroites calculées avec différentes valeurs de seuils minimums d’intensité à 1500K : 0molec.cm (toutes les raies sont sélectionnées), 3.10−27molec.cm, 10−22molec.cm et 10−21molec.cm. Enfin, la Fig. 5.10 souligne le fait qu’il est également possible d’évaluer simplement l’impact qu’ont les paramètres de raies, en l’occurrence la distance à laquelle sont tronquées les ailes de raie (par rapport à leur nombre d’onde central), sur les luminances moyennées par bandes. Les résultats relatifs à plusieurs distances de troncature : ∞cm−1 (pas de troncature), 25cm−1 , 5cm−1 et 0.5cm−1 y sont représentés. 

Coefficients hn,m,ı,η négatifs et événements rares

Au cours des travaux menés pour proposer des choix satisfaisants de ˆkη(x), Pm(x) et Pı(x) et pour prouver la faisabilité de l’approche faisant l’objet de ce chapitre, la principale difficulté a été d’éviter de rencontrer des plages spectrales et spatiales dans lesquelles les coefficients de collision nulle hn,m,ı,η(x) étaient négatif. Cependant, même avec les choix proposés à la Sec. 5.3.3 et un facteur correctif α fixé à 50, nous n’avons pas pu assurer en toute généralité hn,m,ı,η(x) > 0. Nous avons simplement réussi à réduire la quantité de ces événements à un nombre suffisamment faible pour qu’ils ne posent plus de problème d’augmentation brutale de variance telle que rencontrée dans le Chap. 4. En effet, assurer la condition hn,m,ı,η(x) > 0 équivaut à garantir que le champ arbitraire de ˆkη(x) soit plus grand que ha,m,ı,η(x)/[Pm(x)Pı(x)] pour tout nombre d’onde η, en tout point x, pour toute espèce moléculaire m et pour toute transition ı. Il est donc très difficile d’assurer de façon exhaustive le caractère majorant du champ de ˆkη. Pour un champ de ˆkη(x) fixé, majorant largement le champ du coefficient d’absorption, le non-respect de la condition hn,m,ı,η(x) > 0 est alors dû à une mauvaise définition des probabilités Pm(x) et Pı(x) qui sont localement (pour un nombre d’onde, une position et un nombre d’onde donnés) sous-estimées de façon importante. Or, puisque cinq des six cas d’étude constituant le benchmark sont composés de gaz mono-moléculaires, ces coefficients négatifs de collision nulle sont causés par un choix imparfait de Pı . Avec les choix faits pour cette probabilité, décomposée comme le produit de Pβ et de Pı,β (voir Sec. 5.3.3), nous rencontrons deux principaux types de cas pathologiques (illustrés à la Fig. 5.11) : • Ceux dus à une sous-estimation de Pı,β. On les rencontre lorsque la bande spectrale β échantillonnée est celle à laquelle appartient le nombre d’onde η d’intéret et dans laquelle est centrée une raie très intense (en vert sur la Fig. 5.11a). Si, une raie de plus faible intensité (en rouge sur la Fig. 5.11a) est centrée à une proximité directe du nombre d’onde η, sa contribution ha,m,ı,η(x) en η peut être très importante, mais sa probabilité Pı,β est très sous-estimée à cause de la raie très intense présente également dans β. • Ceux dus à une sous-estimation de Pı à cause de Pβ. Ces événements sont rencontrés lorsque la bande β échantillonnée est très distante du nombre d’onde η d’intérêt et donc a une probabilité Pβ très faible, mais qu’au sein de cette bande est présente une raie très intense (en rouge sur la Fig. 5.11b) avec une largeur de raie importante. Il est possible que dans cette configuration, ce soit 174 Chapitre 5. Intégration spectrale par échantillonnage des transitions cette raie qui constitue l’essentiel du coefficient d’absorption ka,η(x) global en η, rendant alors la probabilité Pı largement sous-estimée à cause de la très faible valeur de Pβ associée à β.

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