CARACTERISATION DES SEMI-FGI ANNEAUX ET DES   ANNNEAUX COMMUTATIFS

Introduction 

Ce chapitre est réservé à l’étude des modules Opens et des modules co-Opens qui sont deux concepts duaux. Le premier paragraphe traite de quelques résultats des modules Oppens. C’est-à-dire les modules M, tels que tout endomorphisme surjectif de M est un automorphisme. Respectivement, les modules co-Opens sont pris en compte par le second paragraphe : Ce sont les modules tels que tout endomorphisme injectif est un automorphisme. Cette dernière notion sera généralisée au troisième et au quatrième paragraphe 6 respectivement par le concept de module semi-co-Hopen et de module purement co-Hopen. Un module M est dit semi-co-Hopen si pour tout endomorphisme injectif f de M, Imf est un facteur direct de M. Un module M est purement-co-Hopen si pour tout monomorphisme f de M, Imf est pur dans M. 

Modules Hopens 

Soit A un an et M un A-module : 1) M est dit Hopen si tout endomorphisme surjectif, f : M −→ M est un automorphisme. 2) Un anneau A est dit Hopen si le A-module gauche Ag est Hopen. Exemples 1.2.2 : / Tout anneau commutatif est Hopen ; / Tout corps est Hopen comme anneau ; / Tout anneau simple est Hopen comme anneau ; / Soit K un anneau commutatif et J un ensemble fini d’indices, alors A = K[(xα)α∈J ] est Hopen dans A-Mod, mais non Hopen comme anneau ; / Soit K un corps et V un espace vectoriel de dimension infinie dénombrable ; alors 7 A = EndK(V ) est Hopen comme anneau mais non Hopen comme A-module ; / Tout module simple est Hopen ; / Tout espace vectoriel de dimension nie sur un corps est Hopen ; / Tout module ni est Hopen ; En particulier 0 ; / Tout groupe ni est Hopen ; / Tout groupe abélien niment généré est Hopen ; / Tout module Noethérien est Hopen ; / Soit A un anneau commutatif, alors tout A-module de type ni est Hop- en ; 

Définition 1.2.3 

 Un module M est quasi-projectif lorsque pour tout module N et tout f et g ∈ Hom(M, N) avec g surjectif, il existe un unique endomorphisme h : M → M tel que f = goh. Remarque 1.2.4 : / Tout facteur direct d’un module Hopen est Hopen ; / Soit M = ⊕iIMi où (Mi)iI est une familles de A-modules : (i) Si M est Hopen alors chaque Mi est Hopen. (ii) Si chaque Mi est totalement invariants alors M est Hopen si et seulement si chaque Mi est Hopen. / Si MI est Hopen pour un certain ensemble I, alors I est ni. 8 Proposition 1.2.5 : Soit M un module quasi-projectif tel que dim (M) < ∞ ou codim (M) < ∞ ; alors pour tout n ∈ N ∗ ;Mn est un module Hopen. Preuve : Puisque dim( Mn ) = n dim M et codim (Mn ) = n codim (M) et que Mn est quasi-projectif si M est quasi-projectif donc Mn vérie les mêmes hypothèses que M ie Mn est quasi-projectif et dim M < ∞ ou codim (M) < ∞ donc il sut de prouver que M est Hopen. Soit f : M → M un endomorphisme surjectif ; comme M est quasi-projectif, il existe un endomorphisme h de M tel que foh = IdM ⇒ Kerf ⊕ Imh = M. Comme h est injectif on a Kerh = 0 de plus on a Imh ∼= M/Kerh = M/0 = M d’ où Kerf ⊕ M ∼= M. d’ où dim (M) + dim (Kerf) = dim (M) et codim (M) + codim (Kerf) = codim (M). Si dim (M) < ∞, on a dim (Kerf) = 0 ⇒ Kerf = 0. Si codim (M) < ∞ on alors codim (Kerf) = 0 ⇒ Kerf = 0. Par conséquent f est injectif et M est Hopen. Et pour les mêmes raisons Mn est Hopen pour tout entier naturel non nul n. Proposition 1.2.6 : Soit M un A-module tel que M/N est Hopen pour tout sous module non nul N de M, alors M est Hopen. Proposition 1.2.7 : Soit M un A-module et N un sous module totalement invariant de M. Si N et M/N sont Hopent, alors M est Hopen. Proposition 1.2.8 : Soit M un A-module quasi-projectif de type ni. Alors M est Hopen si et seulement si M/Rad(M) est Hopen. 9 Preuve : Le radical de Jacobson de M, Rad(M) est un sous module totalement invariant de M. Quand M est de type ni, Rad(M) est super d’après le Lemme de Nakayama.

Modules co-Opens

 Soit A un anneau et M un A-module : 1) M est dit co-Hopen si tout endomorphisme injectif, f : M −→ M est un automorphisme. 2) Un anneau A est dit co-Hopen si le A-module à gauche Ag est co-Hopen.

 Exemples 

 Tout module Artinien est co-Hopen. / Tout module de type ni sur un anneau Artinien est Artinien donc coopen. / Tout A-module simple est à la fois Hopen et co-Hopen ; car EndA(M) est de division. / Tout anneau ni est à la fois Hopen et co-Hopen aussi bien comme A-module à gauche et à droite. Z est co-Hopen comme anneau car l’identité est son seul endomorphisme ; par contre n’est pas co-Hopen comme Z-module. 10 / Tout A-module à gauche projectif de type ni est co-Hopen. / Tout module semi-simple Artinien est co-Hopen. / Tout module quasi-injectif de cogénération nie est co-Hopen. / Q est à la fois Hopen et co-Hopen comme Z-module, mais aussi comme Q-module. / Z est co-Hopen comme anneau ; cependant il n’est pas co-Hopen comme Z-module. / Soit K un corps et A = K((xα)α∈J ) le corps des fractions à une infinité de indéterminées est un anneau commutatif qui est co-Hopen comme A-module et non comme anneau. 

Remarque 

La notion de co-Op Cité des A-modules n’est pas héréditaire, Varadarajan a construit un A-module co-Hopen qui admet un sous module et un module qui ne sont pas co-Hopens. Mais cela n’empêche que sous certaines conditions on peut avoir des résultats partiels. / Tout facteur direct d’un module co-Hopen est co-Hopen ; / Soit M = ⊕i∈IMi où (Mi)i∈I est une famille de A-modules : (i) Si M est co-Hopen alors chaque Mi est co-Hopen. (ii) Si chaque Mi est totalement invariant alors M est co-Hopen si et seulement si chaque Mi est co-Hopen. / Si MI est co-Hopen pour un certain ensemble I, alors I est ni. On en déduit que MN n’est pas co-Hopen. 

Proposition 

 Soit M un module dont tout sous module propre N est co-Hopen, alors M est co-Hopen. 

Proposition 

 Soit M un A-module et N un sous module complètement invariant de M. Si N et M/N sont co-Hopens, alors M est co-Hopen. Preuve : Soit f un endomorphisme de M. Comme N est complètement invariant, on a le diagramme commutatif suivant : N −→ M −→ M/N avec i l’injection canonique de N dans M et p la surjection canonique de M dans M/N. Supposons que N et M//N soient co-Hopens et f injectif. La relation iof’ = foi entraine que f’ est injectif et il en résulte que f’ est bijectif car N est co-Hopen. On a alors les relations : f(N)= (foi)(N)= (iof’)(N)= i(f(N))= i(N)=N. Soit x ∈ Kerf. On a f(x) = 0 = f(x), alors f(x) ∈ N = f(N). Donc si x ∈ f −1 (f(N)), alors x ∈ f −1 (N) d’où x ∈ N entraine x = 0. D’où Kerf = 0 donc f est injectif. Et comme M/N est co-Hopen alors f est bijective. Soit y ∈ M on a p(y) ∈ M/N. Puisque f est injectif il existe un unique z ∈ M/N tel que p(y) = f(z). Ainsi p(y)= f(p(z))= pof(z)= p(f(z)). D’où il existe t ∈ N tel que y = f(z) + t ; et comme f’ est bijective il existe un unique n ∈ N tel que f'(n) = t et donc f(n)= t. 12 Par conséquent y = f(z) + f(n) = f(z+n)= f(x) avec x = z+n c’est-à-dire f(x) = y donc f est un automorphisme de M car f est surjectif. Ainsi M est co-Hopen. 

Proposition 

Soit M un A-module quasi-injectif. Si udim(M) ≤ ∞ où codim(M) ≤ ∞. Alors Mn est co-Hopen pour tout n ∈ N ∗ . Preuve : Remarquons que Mn est quasi-injectif si M l’est et udim(Mn ) = n.udim(M) et codim(Mn ) = ncodim(M). Il sut donc de montrer que M est co-Hopen. Soit f un endomorphisme injectif de M, la quasi-injectivité de M implique que M = Imf ⊕L pour un sous-module L de M. Puisque f est un isomorphisme de M ⇒ f(M); on a : udim(M) = udim(M)+ udim(L) et codim(M)= codim(M)+ codim(L). Et comme udim(M) et codim(M) sont nis alors L = 0. Ce qui prouve que M = f(M) d’ où M est Hopen. Corollaire 1.3.7 : Soit M un A-module quasi-injectif tel que udim(M) est nie et N un sous-module totalement invariant, alors Nn est co-Hopen pour tout entier n ≥ 1. 

Proposition 1.3.8 

Soient M un module quasi-injectif et N un sous-module totalement invariant et essentiel dans M. Alors N est co-Hopen si et seulement si M est co-Hopen. Preuve : Supposons que M est co-Hopen et soit f un endomorphisme injectif de N. Comme M est quasi-injectif ; il existe un endomorphisme g de M tel que la 13 restriction à N est égale à f. Donc g est injectif car N est essentiel dans M et puisque M est co-Hopen, g est inversible (i.e est un automorphisme). Soit x ∈ N, il existe y ∈ M tel que x = g(y). Or g −1 ∈ End(M) et N est complètement invariant, donc y = g −1 (x) ∈ N, d’ où f est surjectif. Inversement, supposons que N est co-Hopen et soit f : M −→ M un endomorphisme injectif de M. Alors f/N est un endomorphisme injectif de N. Par conséquent, f est bijectif c’est-à-dire f(N) = N. Comme M est quasi-injectif, alors M = f(M) ⊕ L pour un certain sous-module L de M. On a donc 0 = f(N) ∩ L = N ∩ L, ce qui implique que L = 0 ; car N e M. Par la suite , M = f(M) et M sont co-Hopen. 

Proposition 1.3.9 

Soit M = ⊕i∈IMi où (Mi); i ∈ I une famille de A-sous modules de M. on a : 1) Si M est co-Hopen alors Mi est co-Hopen ∀i ∈ I. 2) Si Mi est complètement invariant ∀i ∈ I alors M est co-Hopen si et seulement si Mi est co-Hopen ∀i ∈ I. Preuve : Elle découle de :

Modules Semi-co-Hopens 

Dans cette partie on étudie la semi-co-Op Cité et quelques propriétés des modules semi-co-Hopens. Dénition 1.4.1 : Soit A un anneau commutatif. 14 / Un A-module M est dit semi-co-Hopen si pour tout endomorphisme injectif de M, f :M −→ M imf est un facteur direct de M ; c’est-à-dire Imf ⊕ N = M. / Un anneau A est semi-co-Hopen si le A-module A l’est. / Un A-module M vérie C2 si tout sous-module isomorphe à un facteur direct est un facteur direct. / Un A-module M vérie D2 si tout sous-module N tel que M/N est isomorphe à un facteur direct de M est un facteur direct de M. / Un A-module M est Dedekind ni si M ∼= M ⊕ N pour un module N ⇒ N = 0. / Par exemple les modules co-Hopens et les modules Hopens sont Dedekind nis. / Un anneau A est Dedekind ni si et seulement si ∀a, b ∈ A tels que ab = 1 ⇒ ba = 1. / Un module M est dit Epi-rétractable si tout sous-module de M est M-cyclique. Exemples 1.4.2 : Soit A un anneau commutatif. / Tout A-module M co-Hopen est semi-co-Hopen. / Tout A-module M qui vérie C2 est semi-co-Hopen. / Tout A-module injectif M est semi-co-Hopen. 15 / Tout A-module quasi-injectif est semi-co-Hopen : Muller and Mohamed : [30]. / Tout A-module qui vérie la DCC sur ses sous-facteurs, est semi-coHopen. / Tout module quasi-principalement injectif est semi-co-Hopen. Lemme 1.4.3 : Soit M un A-module, on a les équivalences suivantes : 1) M est semi-co-Hopen ; 2) Tout sous module N qui est isomorphe à M est un facteur direct de M. Preuve : (2 ⇒ 1) Pour tout endomorphisme injectif de M, f :M −→ M alors l’application f :M −→ Imf est une bijection ; d’ où Imf ⊕ N = M d’ où M est semi-co-Hopen. (1 ⇒ 2) Soit N un sous module de M tel que N ∼= M, et soit f :M −→ N cet isomorphisme on a. Comme Imf = N, et M est semi-co-Hopen alors Imf = N est un facteur direct de M. Dénition 1.4.4 : / Soit M, un A-module ; on dit que M est un SSP-module si la somme directe de deux facteurs directs de M est un facteur direct de M. On dit aussi que M vérie la SSP si et seulement si pour tout décomposition M = D ⊕ B et tout A-homomorphisme f de D dans B alors Imf est un facteur direct de M. 16 / Un module est dit faiblement co-Hopen si l’image de tout endomorphisme injectif de M est essentiel dans M. / Un sous-module N de M est dit sous-facteur de M s’il n’est pas facteur direct de M. Remarque 1.4.5 : / Tout module semi-co-Hopen et quasi-continu vérie C2. / Si M ⊕ M vérie la SSP alors M est semi-co-Hopen. / Il existe un A-module à gauche semi-co-Hopen qui n’est pas un Amodule à droite semi-co-Hopen. Cf Pinar and Ozcan : [32] : Exemple 2.20. Proposition 1.4.6 : Soit M un A-module, on a les équivalences suivantes : 1) M est co-Hopen. 2) M est Dedekind ni et semi-co-Hopen. 3) M est faiblement co-Hopen et semi-co-Hopen. Preuve : (3) ⇔ (1) ⇒ (2) découle des remarques précédentes. (2) ⇒ (1) : Soit f un endomorphisme injectif de M, comme M est semi-coHopen, alors M = f(M) ⊕ K pour un sous-module K de M. On en déduit un isomorphisme déni par : ϕ : M ⊕ K → M, ϕ (m,k) = f(m)+ k. Et comme M est Dedekind ni, on a : K = 0, d’ où f(M) = M et f est un isomorphisme, d’ où M est co-Hopen. 17 Proposition 1.4.7 : Si M est un module Epi-rétractable tel que tout sousmodule de M est M-principalement injectif, alors M est semi-co-Hopen : [24]. Lemme 1.4.8 : Si tout sous-facteur de M est semi-co-Hopen, alors M est semi-co-Hopen. Preuve : Supposons que M ne soit pas semi-co-Hopen, alors d’aprés Pinar and Ozcan :[32] : lemme 2.1 il existe un sous-facteur N de M tel que N ∼= M, Exemples 1.4.9 : Il existe un module simple U et un module injectif V tel que U ⊕ V ne soit pas semi-co-Hopen. Proposition 1.4.10 : Soit M = ⊕i∈IMi, où Mi est invariant par injection de M ∀i ∈ I. Alors M est semi-co-Hopen si et seulement si Mi est semi-coHopen ∀i ∈ I. Preuve : ⇒) Découle de Pinar and Ozcan : [32] : (Lemme 2.6). ⇐)Soit f un endomorphisme injectif de M, alors la restriction à Mi ; ∀i ∈ I est un endomorphisme injectif de Mi . Par hypothèse chaque fMi) est un facteur direct dans Mi , d’ où M = (⊕i∈If(Mi)) ⊕ X = f(M) ⊕ X avec X ≤ M. Donc M est semi-co-Hopen. Proposition 1.4.11 : Soit M, un module. Si EndA(M) est semi-co-Hopen, alors M est semi-co-Hopen. La réciproque est vraie si Kerf est engendré par M avec f ∈ End(M) et Anand(M)(f) = 0.