Les Méthodes D’ajustement des Courbes
Sur Les Variétés Riemaniennes

Principe du Maximum de Pontryaguin

Dans cette dernière partie nous allons la méthode de la commande optimale avec l’outil le plus puissant d’optimisation qu’est le principe du maximum de pontryguin. Ici nous le présenterons de manière générale c’est à dire pour les variétés avant nous rappeleront quelques résultats de la contrôlabilité d’un système. Et un exemple d’application de ce principe est présenté en fin de mémoire. 4.1 Présentation Du Problème On considère le problème de contrôle optimale suivant[2] : q˙ = fu(q) q ∈ M u ∈ U ⊂ R m q(0) = q0, q(t1) = q1 q0, q1 ∈ M J(u) = Z t1 0 ϕ(q(t), u(t))dt −→ min Ici M est une variété C ∞ et U un sous ensemble ouvert de R m. Pour le côté droit de l’égalité du système de contrôle nous supposons que : – L’application qui à q 7−→ fu(q) est un champ de vecteur C ∞ sur M pour u fixé dans U. – L’application (q, u) 7−→ fu(q) est une application continue pour q ∈ M et u ∈ U, et de plus dans ses coordonnées locales sur M. – L’application (q, u) 7−→ ∂fu ∂q (q) est une application continue pour q ∈ M et u ∈ U. – Les contrôles admissibles u : t 7−→ u(t)u ∈ U sont des applications mesurables localement bornées. Où la fonction ϕ définie par : ϕ : M × U −→ R satisfait aux même conditions de régularitées que f définie au début du chapitre. Remarque le système dynamique ainsi définie avec les conditions initiales est un problème dit de Cauchy et d’après le de Cauchy Lipschitz ce système admet une solution unique. Étudié ce problème revient à étudier la contrôlabilité du système et ensuite énoncer le PMP. 4.2 Contrôlabilité Définition 4.1. [13] 1. On dit qu’on peut atteindre x˜ à partir de x en temps T ≥ 0 si il existe un contrôle admissible u ∈ U tel que φ(T, x, u) = x. e 2. On note A(x, T) l’ensemble des points qu’on atteindre en temps T à partir de x. 3. On note A(x, t ≤ T) = [ 0≤t≤T A(x, t) l’ensemble des points qu’on peut atteindre à partir de x en temps inférieur ou égal à T. 4. On note A(x) = [ 0≤t A(x, t) l’ensemble des points qu’on peut atteindre à partir de x en temps positif. 5. Plus généralement soit V un voisinage du point x. On note AV (x, T) (resp. AV (x, t ≤ T)), (resp. AV (x)) l’ensemble des points de V qu’on peut atteindre en temps T (resp. en temps inférieur ou ègale à T), (resp. en temps quelconque) à partir de x, en restant dans V. Théorème 4.1. [13] Si pour tout x ∈ M dim LiexF = n alors 1. Pour tout x0, x1 ∈ M il existe γ horizontal (avec un contrôle ui) tel que γ(0) = x0 et γT = x1 alors la distance d est bien définie. 2. La distance d(., .) est continue. où LiexF = V ectx = = {f1, f2, . . . , fm, [f1, f2], [f1, f3], . . . , [f1, fm], [f2, f1], . . . , [f1, [f1, f2]], [f1, [f1, f3]], . . .} ; F = {f1, f2, . . . , fm} où les fi sont les champs de vecteurs du sytème dynamique considéré. Et LiexF est l’algebre de Lie engendré par ces champs de vecteurs. [fi , fj ] c’est le crochet de Lie des champs de vecteurs. 

Enoncé Du Principe du Maximum de Pontryaguin

Théorème 4.2. (Pincipe du maximum de pontryaguin)[28]. Considerons le système q˙ = fu(q), q ∈ M u ∈ U ⊂ R m q(0) = q0, q(t1) = q0, q1 ∈ M avec le coût J(u) = R t1 0 ϕ(q(t), u(t))dt. Si le contôle ue(.) est optimal alors il existe une fonction non trivial (λ, λ0) : [0, t1] −→ R n×R  absolument continue appelée vecteur adjoint, où λ ≤ 0 est une constante, telle que la trajectoire optimale qe(.) vérifie le système : ( ˙qe = ∂H ∂λ (q, λ, λ e 0, ue) λ˙ = − ∂H ∂q (q, λ, λ e 0, ue) (4.1) Où H(q, λ, λ0, u) = hλ, fu(q)i + λ0ϕ(q(t), u(t)) est le hamiltonien du système et de plus : H(q, λ, λ0, u) = max v H(q, λ, λ0, v) (4.2) Définition 4.2. [28] On appelle extrémale une solution du Principe du Maximum de Pontryaguin. Une extrémale est dite normale si λ0 6= 0, et anormale ou singulière si λ0 = 0 Exemple 4.1. [13] Considerons le groupe Heiseimberg définie par le système dynamique suivant avec M = R 3 où n = 3 et m = 2 :    x˙ = u1(t) y˙ = u2(t) z˙ = −u1 y 2 + u2 x 2 ⇐⇒    x˙ = u1(t) y˙ = u2(t) z˙ = −x˙ y 2 + ˙y x 2 Z t1 0 (u 2 1 (t) + u 2 2 (t))dt de ce qui précède on en déduit les champs de vecteurs suivants : f1 = ∂ ∂x − y 2 ∂ ∂z ; f2 = ∂ ∂y + x 2 ∂ ∂z par définition la fonction hamiltonnienne est donnée par : H(q, λ, λ0, u)) = hλ, fu(q)i + λ0ϕ(q(t), u(t)) avec q = (x, y, z), λ = (λ1, λ2, λ3) et ϕ(q(t), u(t)) = (u 2 1 (t) + u 2 2 (t)) ce qui nous donne : H(q, λ, λ0, u)) = u1(λ1 − y 2 λ3) + u2(λ2 − x 2 λ3) + λ0(u 2 1 (t) + u 2 2 (t)) Et comme λ0 ≤ 0 alors on peut poser que λ0 = − 1 2 on peut alors appliquer à cette fonction hamiltonnienne le Principe du Maximum de Pontryaguin : q˙ = ∂H ∂λ =    x˙ = ∂H ∂λ1 = u1 = λ1 − y 2 λ3 y˙ = ∂H ∂λ2 = u2 = λ2 − x 2 λ3 z˙ = ∂H ∂λ3 = −u1 y 2 + u2 x 

ENONCÉ DU PRINCIPE DU MAXIMUM DE PONTRYAGUIN

λ˙ = − ∂H ∂q =    λ˙ 1 = − ∂H ∂x = − λ3 2 u2 = λ1 − y 2 λ3 λ˙ 2 = − ∂H ∂y = − λ3 2 u1 = λ2 − x 2 λ3 λ˙ 3 = − ∂H ∂z = 0 D’après la dernière équation du second système λ3 = cste on pose λ3 = a en remplaçant λ3 par a on obtient le système suivant :      x˙ y˙ λ˙ 1 λ˙ 2      =      0 − a 2 1 0 a 2 0 0 1 a 2 4 0 0 − a 2 0 − a 2 4 a 2 0           x y λ1 λ2      . en posant : A =      0 − a 2 1 0 a 2 0 0 1 a 2 4 0 0 − a 2 0 − a 2 4 a 2 0      . et X =      x y λ1 λ2      . On normalise le système hamiltonnien en posant : H = 1 2 = 1 2 (u 2 1 + u 2 2 ) H = u 2 1 + u 2 2 = 1 enremplaçant u1, u2 par leurs valeurs on obtient : (λ1 − y 2 a) 2 + (λ2 − x 2 a) 2 = 1 à t = 0, x(0) = 0, y(0) = 0 donc λ 2 1 + λ 2 2 = 1 on a ensuite λ1(0) = − sin(θ), λ2(0) = cos(θ). D’où le système d’équations differentielle ordinnaire à pour solution : X(t) = exp(At)X0 avec : X0 =      x(0) y(0) λ1(0) λ2(0)      . 38 X0 =      0 0 − sin(θ) cos(θ)      . La solution du système est la suivante ( x(t) = 1 a cos(at + θ) − cos(θ) a y(t) = 1 a sin(at + θ) − sin(θ) a c’est un cercle de centre le point de coordonnées ( cos(θ) a , sin(θ) a ) et de rayon R = 1 a en remplaçant x et y et leurs dérivées dans z = Z t 0 z˙(s)ds = Z t 0 (− xy˙ 2 + yx˙ 2 )ds on a : z(t) = at − sin(at) 2a 2 d’où les extrémales joignant l’origine O = (0, 0, 0) au point P = (0, 0, z) sont données par les équations : qe =    x(t) = 1 a cos(at + θ) − cos(θ) a y(t) = 1 a sin(at + θ) − sin(θ) a z(t) = at−sin(at) 2a 2 En remplaçant et en intégrant on obtient : λ(t) = ( λ1(t) = − 1 a sin(at + θ) λ2(t) = 1 a cos(at + θ) 4.4 Equivalence entre le Principe du Maximum de Pontryaguin et le calcul des variations Nous allons montrer que chaque extrémale est une trajectoire optimale pour un certain problème de contrôle optimal, c’est à dire que le calcul variationnel est équivalent au Pricipe du Maximum de Pontryaguin[24, 13]. En effet : soient T > 0 un réel fixé et x0, x1 deux états donné, on veut minimiser la fonctionnelle R T 0 ϕ(x(t), x˙(t))dt sur l’ensemble des courbes x : [0, T] −→ R absolument continues vérifiant les conditions aux limites x(0) = x0 et x(T) = x1. Reécrivons le problème sous l’angle du contrôle optimale on introduisant le système dynamique x˙ = u. Il s’agit maintenant de minimiser la fonctionnelle R T 0 ϕ(x(t), x˙(t))dt. on a donc le système : ( x˙ = u R T 0 ϕ(x(t), x˙(t))dt

EQUIVALENCE ENTRE LE PRINCIPE DU MAXIMUM DE PONTRYAGUIN ET LE CALCUL DES VARIATIONS

D’après le Principe du maximum de Pontryaguin une trajectoire optimale (x, u) se rélève en un triplet (x, λ, u) 6= 0, solution des équations ( x˙ = u λ˙ = −p0 ∂ϕ ∂x (x, u) vérifiant H(x, λ, u) = max v∈R H(x, λ, v) où H(x, λ, u) = λu + p0ϕ(x, u) et p0 est une constante négative. Comme le système dynamique x˙ = u est sans trajectoire singulière, le réel p0 est non nul et on normalise en posant p0 = −1. Puis que v ∈ R,l’équation H(x, λ, u) = max v∈R H(x, λ, v) devient λ − ∂ϕ ∂u (x, u) = 0. En dérivant par rapport à t, on a d dt(λ − ∂ϕ ∂u (x, u)) = 0 λ˙ = d dt ∂ϕ ∂u (x, u) or λ˙ = −p0 ∂ϕ ∂x (x, u) et p0 = −1 il vient que ∂ϕ ∂x (x, u) = d dt ∂ϕ ∂u (x, u) on obtient bien les équations d’Euler-Lagrange du calcul des variations. ∂ϕ ∂x (x, u) − d dt ∂ϕ ∂u (x, u) = 0 . Réciproquement en partant des équations d’Euler-Lagrange on peut obtenir la forme Hamiltonienne en introduisant le pseudo-hamiltonien Hb(x, λ) = max v∈R H(x, λ, v). On désigne par Ω l’ensemble des points (x, λ) tel que l’appication H(x, λ, u) atteigne son maximum en un point unique noté ub(x, λ). On le suppose non dégénéré c’est-à-dire ∂ 2H ∂u2 (x, λ, ub(x, λ)) 6= 0. D’après le théorème des fonctions implicites qui stipule : Théorème 4.3. [27] soit ϕ : R n+1 −→ R une fonction de classe C k avec (k ≥ 1), p ∈ R n+1 , et ∂ϕ ∂xi (p) 6= 0 pour un i fixé. Il existe un voisinage W de p dans R n+1 et une fonction f : Wf −→ R de classe C k tel que pour y = (y1, y2, . . . , yn+1) ∈ R n+1 , f(y1, y2, . . . , yn+1) = 0 si et seulement si yi = f(ye). ub est définie comme une fonction régulière en (x, λ). En posant Hb(x, λ) = H(x, λ, ub(x, λ)), on obtient l’équation sur Ω ∂Hb ∂x = (λ − ∂ϕ ∂u ) ∂ub ∂x − ∂ϕ ∂x avec (λ − ∂ϕ ∂u ) = 0 et ∂ϕ ∂x = λ˙ . Ainsi, ∂Hb ∂x = λ. ˙ De même, on a ∂Hb ∂λ = ˙x d’où les équations sous la forme de Hamilton x˙ = ∂Hb ∂λ , λ˙ = − ∂Hb ∂x . Exemple 4.2. Déterminer les courbes extrémale pour la longueur dans R n c’est à dire on doit minimiser la fonctionnelle suivante : L(q) = Z b a vuutXn i=1 q˙i 2 dt, −→ min . D’après équivalence établit entre la minimisation de la longueur et celle de l’énergie ce problème est équivalent à : E(q) = Z b a Xn i=1 q˙i 2 dt, −→ min . on pose : ϕ(q, q, t ˙ ) = Xn i=1 q˙i 2 . D’après les équations Euler Lagrange que nous rappelons : ∂ϕ ∂q − d dt( ∂ϕ ∂q˙ ) = 0. il vient que : dq˙i dt = 0 , ∀ i = 1, . . . , n q˙i = ci , ∀ i = 1, . . . , n qi(t) = cit + qi(0) , ∀ i = 1, . . . , n En utillisant le Principe du Maximum de Pontryaguin l’Hamiltonien du sytème est donné par : q˙ = u H(q, λ, λ0, u) = λu + λ0ϕ(q, u, t) De manière explicite on a : H(q, λ, λ0, u) = Xn i=1 (λiui + ˙ui) montrons qu’il n’y a pas èxtrémal anormal. supposons que λ0 = 0, dans ce cas H(q, λ, λ0, u) = Xn i=1 λiui on aplliquons le Principe du Maximum de Pontryaguin on a : ∂H ∂ui = 0, ∀ i = 0, . . . , n =⇒ λi = 0 ∀ i = 0, . . . , n ⇐⇒ (λi , λ0) = 0 ∀ i = 0, . . . , n ce qui est absurde d’après le Principe du Maximum de Pontryaguin qui exige que le couple soit différent de zéro donc il n’èxiste pas d’éxtrémale anormal. Dans le cas normal on pose λ0 = − 1 2 D’après le Principe du Maximum de Pontryaguin q˙i = ∂H ∂λi = ui , ∀ i = 0, . . . , n λ˙ i = − ∂H ∂qi = 0, ∀ i = 0, . . . , n =⇒ λi(t) = λi0, ∀ i = 0, . . . , n ∂H ∂ui = λi + ui , ∀ i = 0, . . . , n Xn i=1 λ 2 i0 = 1 on cherche n fonctions dont la somme des carrés est égale à l’unité. q˙i = λi0, ∀ i = 0, . . . , n, =⇒ qi(t) = λi0t + qi0, ∀ i = 0, . . . , n. d’où les courbes extrémales sur R n sont les droites. Nous souhaiterions dans nos investigations futurs s’attaquer au problème résolu par Machado et Leite sous l’angle de la commande optimale afin de comparer les résultats obtenus et voir dans quelle mésure nous pourront l’équivalence établi dans R n généraliser l’équivalence.