Comparaison des approches trame à l’analyse et trame à la synthèse dans le cadre des algorithmes proximaux

Dans les chapitres précédents, nous avons vu qu’il pouvait être avantageux que l’undes termes de régularisation s’applique sur les coefficients de trame d’ondelettes. A ce niveau, deux stratégies peuvent être envisagées : le critère peut être minimisé par rap- port à l’image (formulation trame à l’analyse) ou par rapport aux coefficients de trame d’ondelettes (approche trame à la synthèse). Plus précisément, si N correspond au nom- bre de pixels de l’image, K ≥ N est le nombre de coefficients de trame et F ∈ RK×N p correspond au terme d’a priori dontle paramètre de régularisation est χ > 0. Pour p = 2 ou lorsque F ⊤ = F −1, i.e. F est une décomposition orthonormale, les auteurs montrent l’équivalence des deux formula- tions. Plus récemment, une étude expérimentale a été menée dans le cas où p = 1 dans [Carlavan et al., 2009]. Pour résoudre numériquement la formulation à la synthèse, les auteurs utilisent un algorithme proposé par Nesterov dans [Nesterov, 2009]. Rappelons que cet algorithme est lié à la classe des algorithmes explicite-implicite, présentée dans le chapitre 3. Concernant la formulation à l’analyse, l’utilisation d’un tel algorithme est limitée par le calcul de l’opérateur proximal de kF · k1. En effet, si l’on se reporte à la ν Id . Pour contourner cette difficulté, les auteurs approximent la norme ℓ1 par une fonction de différentiable de Huber. Ils peuvent ainsi utiliser un algo- rithme de type descente de gradient [Nesterov, 2007] pour minimiser le critère approximé résultant.

Bien que les travaux d’Elad et al. et de Carvalan et al. laissent à penser que la FA permet d’obtenir des résultats tout aussi performants voir plus performants que la FS, il apparaît souvent plus facile de résoudre numériquement une FS plutôt qu’une FA avec les algorithmes proximaux. En effet, la remarque faite dans le paragraphe précédent sur le calcul de l’opérateur proximal associé à kF · k1, s’étend au calcul de proxf les chapitres 3 et 4, des FS ont été formulées pour cette raison. Lorsqu’on effectue un bref récapitulatif, sur les algorithmes proximaux utilisés et les caractéristiques des trames employées pour résoudre des problèmes inverses associés à une FS, il apparaît que de nombreux algorithmes requièrent la condition de trame ajustée. Par exemple, le problème de débruitage en présence de bruit de Poisson ou de bruit de speckle a été résolu avec l’al- gorithme de Douglas-Rachford et des trames ajustées dans [Combettes, Pesquet, 2007a]. Dans le cas d’un problème de déconvolution en présence de bruit non-additif gaussien, il est possible de faire appel à l’algorithme proximal parallèle [Combettes, Pesquet, 2008] comme nous l’avons proposé dans le chapitre 4, ou d’utiliser les méthodes de lagrangien augmenté [Afonso et al., 2009; Setzer et al., 2010]. Dans les travaux existants, ces deux classes d’algoritmes sont également limitées à l’utilisation de trames ajustées. Seuls les travaux basés sur l’algorithme explicite-implicite, présentés dans le chapitre 3, permettent de résoudre des problèmes de déconvolution en présence de bruit gaussien par le biais de trames non-nécessairement ajustées [Chaux et al., 2007].

Dans ce chapitre, nous nous fixons deux objectifs. Le premier est de proposer des techniques permettant de résoudre la FA et la FS, sans approximation des critères, par le biais d’un même algorithme proximal. Le second objectif vise à considérer des algo- rithmes permettant d’utiliser des trames non-ajustées. Pour atteindre ce double objectif, nous utiliserons successivement l’algorithme explicite-implicite [Combettes, Wajs, 2005] et PPXA+ [Pesquet, 2010]. Dans un premier temps, nous détaillerons le formalisme à l’an- alyse et celui à la synthèse ainsi que les correspondances existantes ; en particulier, nous étendrons les travaux d’Elad et al.. Puis, les problèmes (5.1) et (5.2), dans le cas où J = 2 et S = 1, seront résolus à l’aide de l’algorithme explicite-implicite. Nous utiliserons la dualité de Fenchel-Rockafellar, exploitée dans [Combettes et al., 2009], pour apporter une solution au calcul de proxfcomparer FA et FS. Enfin, la section 5.4 se penche sur la résolution des problèmes (5.1) et (5.2), dans leur forme générale, pour une classe particulière de trames non-ajustées. L’intérêt d’utiliser des trames non ajustées et des comparaisons supplémentaires entre FA et FS seront présentées.y de y sont la « moyenne a posteriori » (MP) et le « maximum a posteriori » (MAP). Notre attention portera essentiellement sur l’es- timateur MAP. Cependant, remarquons que la MP peut être utilisée lorsqu’il est possible d’intégrer la distribution a posteriori. Si tel n’est pas le cas, ce calcul peut être obtenu par le biais de méthodes de Monte Carlo. Cette approche ne sera pas suivie dans ce chapitre, cependant plus de détails peuvent être trouvés dans [Robert, Castella, 2004; Chaari et al., 2010b] et les références associées.