Compléments à l’analyse de temps CPU pour le système gaz liquide

Thermodynamique des fluides polyphasiques 

Dans ce chapitre, nous présentons quelques résultats relatifs aux caractéristiques thermodynamiques des fluides polyphasiques. En particulier, nous calculons les densités et pressions maximales pour ces fluides. Puis, nous montrons de quelles équations la pression est solution dans le cas d’un mélange gaz-liquide et dans le cas d’un mélange compositionnel à 2 constituants. Dans tous les cas, nous supposons que le gaz est parfait et nous distinguons le cas du liquide compressible de celui du liquide incompressible. B.1 Caractéristiques thermodynamiques des fluides compressibles Nous évaluons dans ce paragraphe la pression maximale d’un fluide diphasique compressible. Nous supposons que le liquide faiblement compressible et le gaz (parfait) sont soumis aux lois ρL(p) = ρ 0 L + p − p 0 a 2 L , ρG(p) = p a 2 G (B.1) ou` ρ 0 L , p 0 , aL et aG sont des constantes données. Nous supposerons que aG < aL. Par ailleurs, nous appellerons liquide incompressible le liquide qui suit la loi ρL(p) = ρ 0 L . Considérons les param`etres ρ 0 L = 1000. (kg/m3 ), aL = 500. (m/s), aG = 300. (m/s), p 0 = 105 (Pa) et une température fixée à T = 20 ( ◦C). Les figures (B.1–B.2) donnent une illustration de la fonction densité définie par ρ(p, Y ) = 1 Y ρG(p) + 1−Y ρL(p) pour Y = 0.1 et Y = 0.5 dans le cas d’un liquide incompressible, puis dans le cas d’un liquide compressible. On constate que, pour des pressions faibles, on a bien ρG(p) ≤ ρ ≤ ρL(p). Puis les courbes se croisent et même s’inversent au del`a d’une pression limite. On peut considérer que cette pression limite est maximale car il est bien évident que nos mod`eles sont faux au-del`a : il est bien connu qu’il faut alors utiliser des mod`eles plus fins, type Van Der Waals, car les interactions entre molécules sont plus grandes. On vérifie également qu’un fluide compressible permet d’atteindre des densités maximales d’autant plus importantes que le liquide est compressible, c’est à dire d’autant plus que aL est petit. – Dans le cas d’un liquide incompressible, la pression et la densité maximale sont p = a 2 Gρ 0 L , ρ = ρ 0 L .

Calcul de la pression 

Nous détaillons ici le calcul de la pression dans le cas d’un mélange gaz-liquide et dans le cas d’un mélange compositionnel à 2 constituants. Dans tous les cas, la pression est solution d’un polynôme dont le degré varie avec la complexité du mod`ele : le polynôme est de degré 1 dans le cas simple Méthodes de relaxation 196 Michael¨ Baudin du liquide incompressible dans un mélange gaz-liquide et il est de degré 3 dans le cas du liquide compressible d’un mélange de 2 constituants. Nous constaterons que, dans le cas du mod`ele gaz-liquide, il est possible de démontrer l’existence de la pression. Par contre, dans le cas du mod`ele à 2 constituants, nous ne pourrons conclure. B.2.1 Mod`ele gaz-liquide Dans ce paragraphe, nous considérons un mélange diphasique isotherme non compositionnel pour lequel la fraction massique de gaz est calculée en fonction de la pression est la densité par Y (ρ, p) = ρG(p) ρ ρL(p) − ρ ρL(p) − ρG(p) . (B.5) Nous allons vérifier que dans le cas d’un liquide incompressible, la pression est solution d’un polynôme de degré 1 tandis que dans le cas d’un liquide compressible, la pression est solution d’un polynôme de degré 2. Dans les deux cas, nous saurons démontrer l’existence de la pression.

Cas du liquide incompressible

Ici, nous calculons la pression dans le cas particulier ou` ρL(p) = ρ 0 L . Rappelons que les égalités (B.2) définissent les pression et densités maximales p et ρ. On introduit la notation θ(ρ) = ρ 0 L ρ − 1, ρ ∈]0, ρ]. (B.6) La quantité θ est sans dimension. Il est facile de vérifier que θ(ρ) ≥ 0 pour ρ ∈]0, ρ]. On écrit alors la fraction massique de gaz sous la forme Y = θ(ρ) p p − p . (B.7) On voit alors facilement que la pression est solution de l’équation linéaire α1p + α0 = 0 (B.8) avec α1 = −θ(ρ) − Y, α0 = Y p, (B.9) dont la solution est p(ρ, Y ) = Y θ(ρ) + Y p, ρ ∈]0, ρ], Y ∈]0, 1]. (B.10) On vérifie facilement que la pression est physiquement admissible c’est à dire à la fois positive et bien définie (dénominateur non nul) si ρ ∈]0, ρ] et Y ∈]0, 1]. Notons que le nombre Y θ(ρ)+Y est sans dimension. Pour Y = 0 (monophasique liquide), la pression est indéterminée et il est nécessaire d’utiliser un mod`ele de liquide compressible. Michael¨ Baudin 197 Méthodes de relaxation 

Cas du liquide compressible

 Dans ce paragraphe, nous considérons un mélange diphasique isotherme non-compositionnel et nous calculons la pression dans le cas général ou` ρL(p) = ρ 0 L + p−p 0 a 2 L . Rappelons que les égalités (B.4) définissent les pression et densités maximales p et ρ à l’aide du nombre sans dimension q définit par (B.3). On note désormais θ(ρ) = ρ 0 L − p 0 a 2 L ρ − 1, ρ ∈]0, ρ]. (B.11) Il est facile de vérifier que θ(ρ) ≥ q −1 pour ρ ∈]0, ρ]. On écrit alors la fraction massique de gaz sous la forme Y = θ(ρ) p + p 2 ρa2 L q(p − p) . (B.12) Quelques manipulations algébriques permettent de constater que la pression est solution d’un polynôme de degré 2. Plus précisément, p est solution de α2p 2 + α1p + α0 = 0 (B.13) avec α2 = − 1 ρa2 L , α1 = −θ(ρ) − qY, α0 = qY p. (B.14) Il est facile de constater que, comme il a déj`a été vu dans [4], le discriminant ∆(ρ, Y ) = (θ(ρ) + qY ) 2+4 p ρa2 L qY est positif. Le polynôme poss`ede donc 2 racines réelles. Comme par ailleurs le produit des racines, qui vaut − p ρa2 L qY est négatif, il y a une racine négative et une positive : c’est la derni`ere qui nous intéresse. La pression vaut p(ρ, Y ) = ρa2 L 2 h θ(ρ) + qY + √ ∆ i ρ ∈]0, ρ], si Y ∈ [0, 1]. (B.15) B.2.2 Mélange `a 2 constituants Ce paragraphe est un complément du chapitre 9 qui traite du mod`ele diphasique isotherme à 2 constituants. Dans ce mod`ele, la fraction massique du premier constituant de gaz est calculée en fonction de la pression est la densité par c1(ρ, p) = Y (ρ, p)Y1(p) + X(ρ, p)X1(p), (B.16) avec Y1 et X1 des fonctions données de la pression et X et Y les fractions massiques de chaque phase définies par Y (ρ, p) = ρG(p) ρ ρL(p) − ρ ρL(p) − ρG(p) , X(ρ, p) = 1 − Y (ρ, p). (B.17) Nous notons ω = 1 − p 0 2 p 0 1 , (B.18) Méthodes de relaxation 198 Michael¨ Baudin avec p 0 1 et p 0 2 des pressions constantes. Sous l’hypoth`ese p 0 2 < p 0 1 , on constate que pour toute température positive, on a ω ∈]0, 1[. Il est alors facile d’écrire les fractions massiques du premier constituant sous la forme X1(p, T) = p − p 0 2 ωp 0 1 , Y1(p, T) = p − p 0 2 ωp . (B.19) Nous allons voir que, dans le cas d’un liquide incompressible, la pression est solution d’un polynôme de degré 2 et que dans le cas d’un liquide compressible, la pression est solution d’un polynôme de degré 3. Dans les deux cas, nous ne saurons conclure à l’existence de la pression. B.2.2.1 Cas du liquide incompressible Dans ce paragraphe, nous calculons la pression dans le cas particulier ou` ρL(p) = ρ 0 L . On consid`ere ici la définition de θ(ρ) (B.6) et on écrit la fraction massique de gaz sous la forme (B.7). Il vient alors aisément, par la définition de la fraction massique du premier constituant (9.25), que c1 = p − p 0 2 ωp 0 1 p − (θ(ρ) + 1)p p − p + p − p 0 2 ω θ(ρ) p − p . (B.20) Quelques simples manipulations algébriques sur l’égalité précédentes permettent de voir que la pression est racine d’un polynôme de degré 2. Plus précisément, p est solution de α2p 2 + α1p + α0 = 0 (B.21) avec α2 = θ(ρ)+1 p 0 1 , α1 = −θ(ρ) − p p 0 1 − ωc1 − (θ(ρ) + 1)(1 − ω), α0 = ωc1p + θ(ρ)p 0 2 + (1 − ω)p. (B.22) Remarque B.2.1 Cette définition de la pression est satisfaisante car elle dégén`ere bien vers le cas ou` p 0 1 → ∞ et p 0 2 = 0, qui correspond au mod`ele gaz-liquide (non compositionnel). Dans ce cas, il est facile de voir que ω = 1 et c1 = Y . Par ailleurs, le polynôme de degré 2 se simplifie en polynôme de degré 1 (α2 = 0) avec α1 = − (θ(ρ) + Y ) et α0 = Y p. On vérifie donc bien que p = Y θ(ρ)+Y p. Le discriminant est ∆(ρ, c1) = α 2 1 − 4α2α0 c’est à dire trouve l’expression ∆(ρ, c1) = · θ(ρ) + p p 0 1 + ωc1 + (θ(ρ) + 1)(1 − ω) ¸2 −4(θ(ρ) + 1) · ωc1 p p 0 1 + µ θ(ρ) + p p 0 1 ¶ (1 − ω) ¸ (B.23) qu’on peut mettre sous la forme ∆(ρ, c1) = · θ(ρ) + p p 0 1 − ωc1 − (θ(ρ) + 1)(1 − ω) ¸2 + 4ωc1θ(ρ) µ 1 − p p 0 1 ¶ . (B.24) Il est clair que pour c1 = 0, ce discriminant est positif. Dans les autres cas, on ne peut pas conclure car, dans la pratique, ³ 1 − p p 0 1 ´ < 0. Michael¨ Baudin 199 Méthodes de relaxation 

Cas du liquide compressible

 Dans ce paragraphe, nous tentons de trouver de quelle équation la fonction pression est solution dans le cas général ou` ρL(p) = ρ 0 L + p−p 0 a 2 L . Nous allons voir qu’`a (ρ, ρc1) fixé, la pression est solution d’un polynôme de degré 3. Nous conservons la même notation pour ω. On consid`ere les notations (B.11) et (B.3). On écrit alors les fractions massiques de gaz sous la forme (B.12). Il vient alors, par la définition de la fraction massique du premier constituant (9.25), que c1 = p − p 0 2 ωp 0 1 qp − (θ(ρ) + q)p − p 2 ρa2 L q(p − p) + p − p 0 2 ω θ(ρ) + p ρa2 L q(p − p) . (B.25) Quelques simples manipulations algébriques sur l’égalité précédentes permettent de voir que la pression est racine d’un polynôme de degré 3. Plus précisément, p est solution de α3p 3 + α2p 2 + α1p + α0 = 0 (B.26) avec α3 = 1 p 0 1 ρa2 L , α2 = θ(ρ)+q p 0 1 − ω ρa2 L , α1 = −θ(ρ) − q p p 0 1 − ωqc1 − (θ(ρ) + q)(1 − ω) + p 0 2 ρa2 L , α0 = ωc1qp + θ(ρ)p 0 2 + (1 − ω)qp. (B.27) Remarque B.2.2 Cette définition de la pression est satisfaisante car elle dégén`ere bien vers le cas précédent si aL → ∞, c’est à dire si on tend vers un liquide incompressible.