Contrôle des EDSPRs couplées

Contrôle des EDSPRs couplées

Contrôle stochastique d’EDSPR couplées

Motivation

Les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades (EDSPR) apparaissent dans des problèmes de contrôle stochastique. Par exemple, dans la formulation stochastique du principe du maximum de Pontryagin pour des systèmes contrôlés dont la dynamique est gouvernée par une équation différentielle stochastique (EDS) d’Itô, l’equation adjointe est une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR). Une équation différentielle stochastique progressive-rétrograde (EDSPR) est un sytème composé par une EDS et une EDSR. L’EDSPR est dite découplée (ou markovienne) si la variable de l’EDSR ne rentre pas dans l’EDS, et 1 Chapitre 1 : Introduction générale elle est dite couplée si l’EDS et l’EDSR sont imbriquées l’une dans l’autre. En 1993, Antonelli a donné dans [3] le premier résultat d’existence et unicité des solutions pour une EDSPR. Vu les nombreuses applications de ses équations aux EDP, en finance et au contrôle stochastique, plusieurs travaux ont été consacrés à l’étude des EDSPR, parmis lesquels on peut citer les travaux (Ma-Protter-Yong, Delarue, Hu-Peng, Peng-Wu, Hamadene, Li Juan. En lien avec le sujet de la présente thèse, Buckdahn et al ont établi dans  l’existence d’un contrôle strict pour des EDSPR découplées en utilisant les équations de Hamilton Jacobi Bellman (HJB) et Bahlali et al ont établi dans  un résultat similaire par une méthode directe de compacité des lois des solutions de l’EDSPR contrôlée considérée. La partie contrôle d’EDSPR de cette thèse s’inspire des travaux et étend ces derniers aux EDSPR couplées. Dans le cas où la diffusion est dégénérée, on établit l’existence d’un contrôle optimal strict pour des EDSPR couplées sous des conditions de Lipschitz globales sur tous les coefficients et la condition de G-monotonie sur le coefficient de l’EDSR. Ces hypothèses garantissent l’existence et l’unicité de l’EDSPR considérée. Ils permettent également de montrer que la variable Z est bornée, ce qui est crucial pour la démarche suivie car ceci permet de voir Z comme un contrôle. Dans le cas où la diffusion est non dégénérée, on établit l’existence d’un contrôle optimal strict pour des EDSPR couplées sous des hypothèses de Lipschitz sur tous les coefficients. La G-monotonie est, elle, suprimée dans ce cas. On va commencer par préciser le problème à étudier. On donnera ensuite les résultats antérieurs et enfin les deux résultats qu’on a obtenus. Soit T > 0 et t ∈ [0, T]. Soient b, σ, f et Φ des fonctions définies comme suit : b : R d × R × R d × U → R d , σ : R d × R × U → R d×d , f : R d × R × R d × U → R, Φ : R d → R. Soit ν := (Ω, F, P) un espace de Wiener, avec Ω est l’espace des fonctions continues de [0, T] dans R d (Ω = C0([0, T]; R d )), F le complément du σ-algèbre de 2 Chapitre 1 : Introduction générale borel sur Ω et P la mesure de Wiener. Soit W le processus canonique : Ws(ω) = ωs, s ∈ [0, T], ω ∈ Ω. on note par F = {Fs, 0 ≤ s ≤ T} la filtration naturel engendrée par {Wt}t≥0 et complétée par les ensembles de mesure P-nuls. On définit les espaces suivants : — S 2 ν (t, T; R m) est l’espace des processus continues (Xs, s ∈ [t, T]), (Ft)- adaptés, à valeurs R m satisfaites E[supt≤s≤T |Xs| 2 ] < ∞, — H2 ν (t, T; R m) est l’espace des processus (Zs, s ∈ [t, T]), (Ft)-prévisibles, satisfaites E[ R T t |Zs| 2ds] < ∞, — M2 ν (t, T; R m) est l’espace de tout les martingales de carrée integrable càdlàg M = (Ms)s∈[t,T] à valeurs R m, avec Mt = 0, — Uν(t) est l’ensemble des contrôles admissibles, c-à-d l’ensemble des processus (us, s ∈ [t, T]) (Ft)-progressivement mesurables à valeurs dans un métrique compact U de R d .

Équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades et EDP stochastiques 

 Motivation 

En 1994, Pardoux et Peng ont introduit dans [48] les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSR). Ils ont établi l’existence et l’unicité des solutions avec des hypothèses de Lipschitz et de contraction sur les coefficients. De plus, ils ont montré que ces équations sont liées aux équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) quasi-linéaires. Par la suite, le lien entre les EDDSR et les EDPS a été développé dans de nombreux articles. Plusieurs auteurs ont réussi à établir l’existence et l’unicité des solutions dans des conditions plus générales que les hypothèses de Lipschitz (voir par exemple . Dans un cas unidimensionnel, les méthodes de comparaison ont été principalement utilisés pour déduire l’existence de solutions pour des EDDSR avec des générateurs continues .Dans le cas multidimensionnel, le problème est plus délicat car les méthodes de comparaison ne fonctionnent plus. Notez également que, comme pour les EDSRs classiques, la localisation par les temps d’arrêts, est inefficace pour les EDDSR. Par conséquent, les articles précédents ont considéré des EDDSR multidimensionnelles avec des hypothèses globales sur le générateur, comme la condition de Lipschitz globale ou monotonie globale. Récemment, l’existence et l’unicité de solutions ont été établis dans  pour des EDDSR sous certaines hypothèses locales sur les générateurs. Cependant, les conditions utilisées dans  sont une retranscription de celles introduites par Bahlali et al dans [9]. Plus précisément, Wu et Zhang  ont etudié le cas où le générateur est localement monotone avec des conditions supplémentaires. Mais les générateurs considérés dans [58] restent de croissance sous linéaires. Dans cette partie de la thèse, on considère des EDDSR multidimentionnels avec des générateurs à croissance surlinéaire et une donnée terminale de carrée intégrable. On introduit des nouvelles conditions locales sur les générateurs, et on montre que ces dernières assurent l’existence et l’unicité ainsi que la stabilité des solutions. En conséquence, on établit l’existence et unicité des solutions des EDPS semilinéaires associées sous les mêmes conditions sur les générateurs. On commencera par préciser le problème à étudier. On donnera ensuite les résultats antérieurs et enfin les résultats qu’on a obtenus. Soient (Ω, F, P) un espace probabilisé filtré et (Wt)t∈[0,T] , (Bt)t∈[0,T] deux mouvements Brownien standard independants à valeurs dans R d et R k respectivement. Pour chaque t ∈ [0, T], on note Ft = F W 0,t ∨ F B s,t avec F ν est définit pour un processus U par F U s,t = σ{Ur − Us, s ≤ r ≤ t} ∨ N où N est la classe des ensembles de P-null de (F). A noter que la famille (Ft) n’est pas une filtration car elle n’est ni croissante ni décroissante. On définit les espaces suivants : — M2 (0, T; R n ) := l’ensemble des processus n-dimentionels mesurables (φt)0≤t≤T telle que E( R T 0 |φt | 2dt) < ∞. — S 2 (0, T; R n ) := l’ensemble des processus n-dimentionels continues (ψt)0≤t≤T telle que E(sup0≤t≤T |ψt | 2dt) < ∞.

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Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Contrôle stochastique d’EDSPR couplées
1.1.1 Motivation
1.1.2 Résultats antérieurs
1.1.3 Résultats de la présente thèse sur le contrôle stochastique des EDSR couplées
1.2 Équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades et EDP stochastiques
1.2.1 Motivation
1.2.2 Résultats antérieurs
1.2.3 Résultats de la présente thèse sur les EDDSR et les EDPS
2 Éxistence d’un contrôle optimal pour des EDSPR dans le cas dégénérée
2.1 Le résultat principal
2.2 Preuves
2.2.1 La régularisation des coefficients
2.2.2 L’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman approchée
2.2.3 Construction du problème de contrôle approché
2.2.4 Convergence du problème approché
2.3 Annexes
2.3.1 Annexe A : Estimations
2.3.2 Annexe B : Régularisation des coefficients
2.3.3 Annexe C : La condition de convexité de Filippov
3 Éxistence d’un contrôle optimal strict pour des EDSPRs dans le cas non-dégénérée
3.1 Le résultat principal
3.2 Principe de programmation dynamique et solution de HJB
3.2.1 Principe de programmation dynamique
3.2.2 Solution de viscosité de HJB
3.3 Preuves
3.3.1 Construction du problème de contrôle approché
3.3.2 l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman approchée
3.3.3 Le passage à la limite
4 EDDSR multidimentionnelles avec un générateur à croissance surlinéaire et application aux EDPS
4.1 Les résultats principales
4.1.1 Hypothèses
4.1.2 Quelques exemples et observations
4.2 Preuves
4.2.1 La preuve du Théorème 4.1.1
4.2.2 La preuve du Théorème 4.1.2
4.3 Application aux EDPSs : solutions de Sobolev
Bibliographie

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