Extrait du cours concis de mathématiques

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La méthode axiomatique
S’il existe une distinction essentielle entre les mathéma-tiques (en tout cas dans la vision idéalisée qu’on peut en avoir) et la plupart des autres disciplines, c’est sans doute qu’on y a tout le loisir de poser des questions. Qu’on essaie de demander à un physicien la définition d’une force, ou la définition de l’énergie (et non pas la formule qui calcule telle ou telle incarnation de l’énergie), et on rencontrera rapidement des dicultés, qui sont profondes et inévitables. Richard Feynman dans son«Cours de Physique» donne une belle définition de l’énergie, par ailleurs très mathématique et sans doute décevante par certains égards pour les physiciens. Il ne parvient pas à en faire autant pour les forces, et il est intéressant de lire ses explications.
En théorie, ceci n’arrive jamais en mathématiques. Vous pouvez demander à votre professeur de définir ce qu’est le logarithme, il le fera (par exemple) en disant que c’est une intégrale; vous pouvez demander ce qu’est une intégrale, vous aurez une réponse qui fait intervenir des limites ; vous pouvez ensuite demander ce que signifie un« passage à la limite », etc. Mais que va-t’il arriver lorsqu’on en finit par demander ce qu’est un ensemble, ce que sont les nombres entiers, et pourquoi 2 + 2 = 4 ? Il va bien falloir trouver une réponse.
Cependant, a-t-on vraiment le désir de traiter cette question maintenant, dans le premier chapitre d’un livre destiné aux étudiants en première année? Nous arontons un véritable dilemme.
D’un côté, par simple honnêteté (et pas seulement pour avoir des réponses à disposition d’un étudiant récalcitrant qui aurait l’idée incongrue de demander la définition des choses « évidentes »), on a bien envie de commencer par le commencement, et de définir tous les objets que l’on rencontre en partant « de rien ». D’un autre côté, on peut objecter que cette exigence serait aussi déraisonnable que d’imposer à chaque candidat au permis de conduire de connaître entièrement la mécanique automobile avant même sa première heure de conduite.
De fait, la vaste majorité des mathématiciens de profession ne connaissent pas et ne souhaitent pas connaître les détails des fondements logiques des mathématiques. Ils en connaissent cependant les grands principes, que nous allons exposer dans la fin de ce chapitre.
Le principe de départ de la « méthode axiomatique» est simple. On postule l’existence de certains objets, vérifiants certaines propriétés appelées axiomes. Par « postuler », il faut comprendre qu’il s’agit de se donner des règles du jeu, que l’on accepte sans les questionner. Ensuite, les résultats que l’on peut démontrer à partir de ces axiomes sont considérés comme « vrais dans la théorie ».
Le premier exemple remonte à l’Antiquité, c’est celui des axiomes d’Euclide pour la géométrie. Euclide postule l’existence d’objets appelés points et droites (et d’autres encore), sachant qu’un point peut « appartenir» à une droite. Ceci dans le respect de certaines propriétés, comme « deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles » (et bien sûr, dans cette théorie l’expression« être parallèles» est elle-même définie, à l’aide de concepts premiers comme l’appartenance d’un point à une droite). Toute la géométrie est déduite de ces axiomes.
En principe, comme le disait Hilbert, on pourrait remplacer « point » par« table », « droite» par« chaise », et « appartenir» par n’importe quel verbe, et on pourrait toujours développer la théorie, de manière purement formelle. Ceci est vrai ; ce ne sont que des mots. Toutefois, il faut se garder de prendre ceci trop au sérieux : les axiomes ont été choisis parce qu’Euclide a l’intuition que le monde réel comporte des points et des droites (ou au moins des segments), et parce qu’il souhaite considérer chaque résultat « vrai dans la théorie» comme une assertion vraie sur le monde réel.
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Sommaire: Cours concis de mathématiques

Chapitres Une table des matières détaillée se trouve à la fin du livre
1 Ensembles
2 Nombres
3 Polynômes
4 Suites
5 Matrices
6 Continuité
7 Déterminants
8 Compacité
9 Dérivées
10 L’exponentielle
11 Espaces vectoriels
12 Formules de Taylor
13 Applications linéaires
14 Intégrale de Riemann
15 Fractions rationnelles
16 Diagonalisation
17 Équations diérentielles linéaires
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