Sommaire: Cours et exercices corrigés traitant des bases de l’analyse réelle
Préface du traducteur
Préface à l’édition anglaise
Notations et terminologie
I Nombres réels
Énoncés
I.1 Borne supérieure et borne inférieure, fractions continues
I.2 Quelques inégalités élémentaires
Solutions
I.1 Borne supérieure et borne inférieure, fractions continues
I.2 Quelques inégalités élémentaires
II Suites de nombres réels
Énoncés
II.1 Suites monotones
II.2 Limites. Propriétés des suites convergentes
II.3 La transformation de Toeplitz, le théorème de Stolz et leurs
applications
II.4 Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
II.5 Problèmesdivers
Solutions
II.1 Suitesmonotones
II.2 Limites. Propriétés des suites convergentes
II.3 La transformation de Toeplitz, le théorème de Stolz
etleursapplications
II.4 Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
II.5 Problèmes divers III Séries de nombres réels
Énoncés
III.1 Sommation de séries
III.2 Sériesàtermespositifs
III.3 Letestintégral.
III.4 Convergence absolue. Théorème de Leibniz
III.5 LestestsdeDirichletetAbel
III.6 ProduitdeCauchydeséries
III.7 Réarrangementdeséries.Sériesdoubles
III.8 Produitsinfinis
Solutions
III.1 Sommationdeséries
III.2 Sériesàtermespositifs
III.3 Letestintégral
III.4 Convergence absolue. Théorème de Leibniz
III.5 Les tests de DirichletetAbel
III.6 ProduitdeCauchydeséries
III.7 Réarrangementdeséries.Sériesdoubles
III.8 Produits infinis
Bibliographie
Table des renvois
Index
Extrait du cours et exercices corrigés traitant des bases de l’analyse réelle
PRÉFACE DU TRADUCTEUR
Ce livre est le premier d’une série de trois recueils d’exercices corrigés traitant des bases de l’analyse réelle. Il s’adresse d’abord aux étudiants, principalement ceux des niveaux L1et L2, qu’ils soient à l’université ou en CPGE. Il intéressera aussi les candidats aux concours du CAPES et de l’agrégation de mathématiques qui y trouveront autant les théorèmes qu’ils doivent connaître que des exercices pour les illustrer.
Ce premier volume traite des propriétés élémentaires des nombres réels, des inégalités élémentaires, des suites et des séries numériques. Chaque section, centrée sur un thème, commence par des exercices relativement simples et se poursuit par des problèmes plus difficiles, certains étant des théorèmes classiques. Souvent, différents aspects d’un même thème sont traités en une série d’exercices successifs pour permettre d’en approfondir la compréhension.
Tous les exercices sont corrigés, le plus souvent en détail, ce qui permettra aux étudiants de ne pas « sécher » sur un exercice difficile. Nous les invitons cependant à chercher par eux-mêmes les exercices avant de regarder les solutions pour ne pas se priver du plaisir de les résoudre. Nous insistons aussi sur le fait que les auteursne donnent pas nécessairement toutes les étapes d’un calcul lorsqu’ils considèrent que celui-ci ne pose pas de problèmes techniques. C’est bien sur aux étudiants de prendre le temps de rédiger entièrement leurs solutions.
NOTATIONS ET TERMINOLOGIE
• Rest l’ensemble des nombres réels.
• R+est l’ensemble des nombres réels positifs.
• R∗ +est l’ensemble des nombres réels strictement positifs.
• Rest la droite réelle achevée, autrement dit,R=R∪{−∞,+∞}.
• Qest l’ensemble des nombres rationnels.
• Zest l’ensemble des entiers relatifs.
• Nest l’ensemble des entiers naturels.
• N ∗=N\{0}.
• [a, b] est l’intervalle fermé d’extrémitésaetb.
• ]a, b[ est l’intervalle ouvert d’extrémitésaetb.
• [x] est la partie entière du nombre réel x (on a conservé la notation anglophone).
La construction précédente implique qu’il existe unl tel queakl+1=ak1. On observe ensuite que les nombresaki etaki+1 apparaissent dans notre inégalité comme numérateurs soit de deux fractions consécutives, soit de deux fractions séparées par un seul terme (on considère ici que la première et la dernière fractions sont voisines). De plus, aki+1 apparaît comme numérateur d’une fraction se trouvant à droite de celle ayant aki pour numérateur. Pour passer de la fraction de numérateur ak1 à la fraction de numérateur akl+1, il faut l étapes et l n2 . Donc, d’après (1) et l’inégalité en les moyennes arithmétique et géométrique.
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