Sommaire: Cours mathématiques fonctions usuelles et fonctions exponentielles
I : Fonctions exponentielles
1) Exponentielles et logarithmes
2) Fonctions trigonométriques hyperboliques
3) Réciproques des fonctions hyperboliques
II : Fonctions circulaires
1) Fonctions trigonométriques
2) Réciproque des fonctions trigonométriques
Annexe : trigonométrie
Extrait du cours mathématiques fonctions usuelles et fonctions exponentielles
I : Fonctions exponentielles
1– Exponentielles et logarithmes
-ln(x) est la primitive de 1/x définie sur ]0, +∞[ et s’annulant en x= 1. Autrement dit :
Sa dérivée 1/x étant strictement positive, ln est donc strictement croissante. La dérivée de ln(ax) valant, ln(ax) est égal à ln(x)+ Cte. La valeur de Cte est obtenue en prenant x = 1, ce qui donne la relation célèbre : ln(ax) = ln(x) + ln(a)
Cette relation, transformant produit en somme, a permis, depuis le XVIIème et jusqu’à l’introduction des calculatrices à bas prix vers 1980 à accélérer notablement les possibilités de calcul des mathématiciens. Ainsi Laplace s’émerveille-t-il « des logarithmes, admirable instrument, qui, en réduisant à quelques heures le travail de plusieurs mois, double si l’on peut dire la vie des astronomes, et leur épargne les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs ».
2– Fonctions trigonométriques hyperboliques
a) sh(x) et ch(x):
On vérifie facilement que :
ex= sh(x) + ch(x)
sh est impair.
ch est pair et strictement positif.
(sh et ch sont respectivement la partie paire et impaire de l’exponentielle) sh’ = ch donc sh est strictement croissante, et du signe de x.
ch’ = sh donc ch est décroissant sur ]–∞,0] et croissant sur [0,+∞[.
sh(x) ∼ch(x) ∼ex2 au voisinage de +∞.
3– Réciproques des fonctions hyperboliques
a) argsh(x):
sh est continue strictement monotone de sur . Cette fonction admet donc une réciproque, notée argsh(x) (pour argument du sinus hyperbolique), qu’on peut calculer explicitement .
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