Dépiégeage plastique et Modèle à deux couches

Modèle visco-élastique multi-couches

Système et dynamique 

Considérons le modèle multi-canaux unidimensionnels élastiques couplés entre eux par des interactions visqueuses dans la direction orthogonale au mouvement des particules (par la suite nous parlerons indiéremment de degré de liberté ou de particule). Les particules sont entraînées par une force extérieure f dans la direction des canaux. En discrétisant l’espace dans les directions longitudinale et transverse au mouvement, le déplacement local au temps t de la l-ième particule dans le i-ème canal est noté u i l (t). En considérant la dynamique sur-amortie, l’équation de la dynamique s’écrit : γu˙ i l (t) = X j η  u˙ j l (t) − u˙ i l (t)  + X m K  u i m(t) − u i l (t)  + h i l Y (u i l (t) − β i l ) + f (5.1) où γ, η et K sont des coecients constants, et les sommes se font entre voisins les plus proches. Les deux premiers termes du membre de droite décrivent l’interaction visqueuse entre les couches et les interactions élastiques entre les particules de chaque couche, tandis que le troisième terme représente le piégeage où Y (u) est une fonction périodique avec h i l et β i l des variables aléatoires. Enn, f est une force d’entraînement appliquée aux particules. Ce modèle visco-élastique résolu en champ moyen prédit un changement qualitatif d’un dépiégeage continu à un dépiégeage discontinu avec hystérésis en augmentant le désordre ou le couplage visqueux. 5.2.2 Modèle à 2 particules Un aperçu général de la dynamique de canaux élastiques couplés visqueusement entre eux peut être obtenu au travers d’un modèle simple considérant seulement deux canaux 1D contenant chacun une particule et couplés entre eux par une interaction visqueuse. La situation consiste en deux particules entraînées par une force extérieure dans un potentiel 1D, ce qui correspond au cas K = 0 de l’équation (5.1) avec une force de piégeage h iY (u i− 150 5.2. MODÈLE VISCO-ÉLASTIQUE MULTI-COUCHES β i ). Le plus simple est de choisir h 1 = h 2 et β i = 0. Les équations régissant la dynamique d’un tel système se réduisent alors à : γu˙ 1 = η( ˙u2 − u˙ 1) + Φ(u1) + f (5.2a) γu˙ 2 = η( ˙u1 − u˙ 2) + Φ(u2) + f (5.2b) En eectuant un changement de coordonnées avec x = u1 − u2 représentant la distance relative et y = u1 + u2 2 la coordonnée du centre de masse, les équations du mouvement deviennent, y˙ = F − 1 2  φ(y + x 2 ) + φ(y − x 2 )  (5.3a) x˙ = a  φ(y − x 2 ) − φ(y + x 2 )  (5.3b) avec a = γ γ+2η , φ = − Φ γ et F = f γ . La fonction de piégeage périodique est prise telle que φ(u) = C [p1 sin(2πu) + p2 sin(4πu)] où C est choisie pour que la force critique de dépiégeage d’une particule soit F 1 c = ±1 avec p1 = 1. Le cas d’une harmonique unique étant non générique, on inclut au moins une autre harmonique (p2 6= 0). Eectuons un brève description des résultats obtenus pour un tel système dynamique [90]. Lorsque a = 1 et que φ(u) est purement sinusoïdal, le système possède une bifurcation noeud-col à F = F 1 c . Ainsi pour F < F1 c il existe deux points xes dont l’un est stable et l’autre instable, qui se situent le long des axes x = 0 et x = 1, et qui vont entrer en collision pour F = F 1 c et se transformer en un point xe mi-stable. Quand F > F1 c le point xe mi-stable disparait et le ot est périodique dans l’espace des phases. Lorsque a < 1, ce qui correspond à la situation où les 2 particules sont couplées via l’interaction visqueuse, les équations du mouvement restent inchangées le long des axes x = 0 et x = 1 et les mêmes points xes sont présents quand F < F1 c . Cependant pour Fc < F < F1 c (où Fc correspond à la force critique du système couplé) un mouvement non borné est possible hors de ces axes. L’espace des phases se sépare en une région piégée et une autre où le ot est périodique. Dans le cas où p2 = 0 ce ot est constitué d’une innité de trajectoires neutres périodiques, alors que pour le cas plus générique p2 6= 0 la région contient une seule trajectoire périodique qui est soit attractive quand p2 > 0, soit répulsive quand p2 < 0. Notons que dans le cas où la trajectoire périodique est attractive (p2 > 0), la phase en mouvement disparaît pour laisser une phase piégée quand F < Fc. Nous présentons à titre d’exemple sur la gure 5.1 plusieurs trajectoires dans l’espace des phases (x, y) pour les valeurs des paramètres p1 = 1, a = 0.2 et p2 = 0.5. Les points xes sur les axes x = 0 et x = 1 sont les points vers lesquels convergent les diérentes trajectoires issues de leur bassin d’attraction, et nous observons la solution périodique stable au centre de l’espace des phases. Nous traçons schématiquement la courbe vitesse-force v(F) qui résulte d’un tel système 151 5.2. MODÈLE VISCO-ÉLASTIQUE MULTI-COUCHES Figure 5.1  Représentation de plusieurs trajectoires, issues de diérentes conditions initiales, dans l’espace des phases (x, y). Les valeurs de paramètres utilisés sont p1 = 1, a = 0.2 et p2 = 0.5, et la force appliquée correspond à Fc < F < F1 c . La solution stable unique est représentée en jaune. Cette gure est issue de l’article [90]. pour le cas du piégeage purement sinusoïdal, et le cas avec une harmonique. Les courbes types représentées sur les gures 5.2 correspondent à un dépiégeage élastique. Figure 5.2  Courbe v(F) schématique obtenue lorsque : a) p2 = 0 (sinus pur), b) p2 < 0 et c) p2 > 0. Voir le texte qui est relié à cette gure pour plus d’explications. Quand p2 6= 0, il existe alors deux branches dans la courbe v(F) correspondant aux deux situations possibles. L’une correspond aux trajectoires le long des axes x = 0 et x = 1, c’est-à-dire le cas de la particule seule (branche numérotée 1), et l’autre correspond à l’orbite périodique (branche numérotée 2) comme nous pouvons le voir respectivement sur les gures 5.2b) et 5.2c). Lorsque p2 < 0, l’orbite périodique est répulsive et la trajectoire le long des axes x = 0 et x = 1 est attractive, la courbe coïncide donc avec celle obtenue 152 5.3. EXTENSION DU MODÈLE pour le dépiégeage d’une seule particule et aucune hystérésis n’est observée. Cependant lorsque p2 > 0, l’orbite périodique devient attractive et de l’hystérésis apparait. En eet, en partant de valeurs élevées de force et en diminuant cette dernière, le système suit la trajectoire périodique et se piège au niveau de Fc. Lorsque l’on augmente la force à partir d’une valeur plus petite que Fc, le système se piège d’abord sur les points xes le long des axes x = 0 et x = 1 et ce jusqu’à F 1 c , à partir de laquelle les points xes disparaissent et le système « saute » alors dans l’état en mouvement donné par l’orbite périodique attractive. On constate que ce modèle très simplié à deux degrés de liberté permet de retrouver des comportements caractéristiques des systèmes périodiques à plus grande échelle, comme par exemple le dépiégeage élastique ou encore l’hystérésis. Cependant, l’identication des trajectoires périodiques et des attracteurs dans l’espace des phases nécessite une étude systématique minutieuse. En particulier l’existence d’attracteurs chaotiques est une question ouverte. 

Extension du modèle 

Description du modèle 

Reconsidérons à présent le modèle simplié présenté ci-dessus en y ajoutant un degré de liberté supplémentaire au sein de chaque canal, an d’introduire un couplage élastique possible au sein des canaux. Cela correspond au cas de l’équation (5.1) avec le coecient K 6= 0. Nous représentons sur la gure 5.3 le schéma de ce modèle à 4 particules, qui permet de décrire des situations comme les phases smectiques obtenues dans la cadre des réseaux de vortex. Figure 5.3  Représentation schématique du modèle simplié à 4 particules : les canaux sont les lignes courbes noires, les particules sont modélisées par des sphères oranges, l’interaction élastique est représentée via un ressort alors que celle visqueuse est schématisée suivant une ligne sinueuse bleue. La force d’entraînement F est appliquée de gauche à droite. 

EXTENSION DU MODÈLE 

Système dynamique 

La force de piégeage est choisie telle que Y (u) = p1 sin(2πu) + p2 sin(4πu), et le coef- cient de frottement γ est pris égal à l’unité. A partir de l’équation (5.1), nous obtenons alors le système d’équations du mouvement suivant,    γu˙ 1 = η( ˙u2 − u˙ 1) + K · (u3 − u1 − 1) + Y (u1) + F γu˙ 2 = η( ˙u1 − u˙ 2) + K · (u4 − u2 − 1) + A · Y (u2) + F γu˙ 3 = η( ˙u4 − u˙ 3) + K · (u1 − u3 + 1) + Y (u3 + φ3) + F γu˙ 4 = η( ˙u3 − u˙ 4) + K · (u2 − u4 + 1) + A · Y (u4 + φ4) + F (5.4) avec A = cste le rapport d’intensité de piégeage du canal 2 par rapport au canal 1, φ3,4 sont des déphasages pour les degrés de libertés ajoutés. La signication physique est que les deux canaux n’ont pas la même intensité de piégeage, et les particules ne sont pas en phase dans les potentiels de piégeage. Les termes d’interactions élastiques sont tels que les deux particules d’un même canal ne peuvent pas se trouver simultanément dans un même puits. Ceci interdit aux particules de se croiser au cours de leur mouvement dans le canal (la périodicité spatiale du potentiel étant de u = 1). Le changement de variables    S = u1 + u2 D = u1 − u2 S 0 = u3 + u4 D0 = u3 − u4 (5.5) permet de réécrire le système d’équations (5.4) :    S˙ = K · (S 0 − S − 2) + Y ( S + D 2 ) + A · Y ( S − D 2 ) + 2F D˙ = a  K · (D0 − D) + Y ( S + D 2 ) − A · Y ( S − D 2 )  S˙0 = K · (S − S 0 + 2) + Y ( S 0 + D0 2 + φ3) + A · Y ( S 0 − D0 2 + φ4) + 2F D˙ 0 = a  K · (D − D0 ) + Y ( S 0 + D0 2 + φ3) − A · Y ( S 0 − D0 2 + φ4)  (5.6) où le paramètre a est déni par a = 1 γ+2η .

Modèle numérique – paramètres 

Nous avons choisi de résoudre le système d’équations diérentielles ordinaires (5.6) par un algorithme de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4). Ce choix permet d’obtenir une bonne précision (l’erreur totale est d’ordre O((dt) 5 ), avec dt le pas de l’itération de l’algorithme) sans pour autant occuper ou surcharger le temps processeur. Le choix du pas d’intégration est essentiel puisque la précision de la solution numérique dépend de cette quantité, tout comme le temps de calcul. Plus le pas est grand, plus le calcul est rapide mais moins il est précis, et inversement. Par la suite nous xons dt = 10−2 qui est un bon choix « précision/temps » de calcul. Certains paramètres au cours des simulations sont xés dénitivement : p1 = 1, φ3 = 0.11 et φ4 = 0.42 (ces 2 valeurs étant choisies d’une manière aléatoire). Les positions initiales des particules sont u1 = 0.5, u2 = 0 et ui+2 = ui + 1 avec i = {1, 2} (c’est-à-dire que les particules ajoutées 3 et 4 au sein de chaque canal, sont éloignées d’un puits d’écart par rapport aux particules initiales 1 et 2). Les valeurs des paramètres K, A et a restent libres pour explorer les diérents régimes dynamiques. Les gammes de variations de ces paramètres sont les suivantes : 10−1 ≤ A ≤ 10, 10−2 ≤ K ≤ 10 et 5 × 10−3 ≤ a ≤ 8 × 10−1 . L’évolution de ces trois paramètres est étudiée pour diérentes harmoniques de la force de piégeage Y (u) : p2 = {−0.5; 0; 0.5} an d’analyser l’inuence de l’harmonique par rapport au cas du piégeage dans un potentiel purement sinusoïdal.