Développement théorique et question

Classiquement, les activités impliquant une tâche mathématique dans plusieurs domaines sont analysées en considérant que les entités impliquées dans la tâche apparaissent sous différentes représentations sémiotiques, chacune appartenant à un champ. C’est le principe dit « multi-représentation ». Parmi les nombreuses approches théoriques des « multi- représentations », nous partons de la prise en compte par Duval de la pluralité des représentations pour un objet donné. Pour Duval (1999, p. 4), « there is no other ways of gaining access to the mathematical objects but to produce some semiotic representations (…) On the other hand, the understanding of mathematics requires not confusing the mathematical objects with the used representations ». Il souligne aussi que les représentations sont organisées dans des systèmes sémiotiques. Dans un système sémiotique, certaines représentations, appelées « registres », offrent des processus de travail spécifiques (traitements) ainsi que des moyens de passer d’une représentation à une autre (conversion). Duval insiste sur la nécessité de se concentrer spécifiquement sur ces processus de travail à l’intérieur et entre les registres, et des recherches récentes démontrent que les enseignants peuvent ignorer les opportunités offertes par les « multi-représentations » pour comprendre le travail des élèves (Iori, 2018).

Dans cette approche « multi-représentationnelle », les activités pour les élèves dans différents domaines sont considérées comme utiles en raison des possibilités offertes pour travailler sur différentes représentations sémiotiques et de les coordonner. Malgré l’importance d’un cadre théorique comme celui proposé par Duval, le point de vue « multi- représentation » nous semble trop réduit à l’aspect sémiotique et ne peut à lui seul donner réellement sens à des activités impliquant plusieurs domaines en interactions et à leurs potentialités. Certains programmes scolaires ont mis l’accent sur les travaux en lien avec les représentations. Les élèves maîtrisent parfaitement les processus de conversion et de Douady (1996) construit un autre cadre théorique permettant de donner du sens aux activités de coordination de différents domaines (en particulier des domaines mathématiques). Pour Douady, un cadre est constitué d’objets issus d’une branche des mathématiques, de la relation entre ces objets, de leurs diverses expressions et des images mentales associées à ces objets. Lorsque l’élève résout un problème, il peut l’examiner dans différents contextes. Passer d’un cadre à un autre est important pour que l’élève progresse et que ses conceptions des objets mathématiques évoluent.

Cependant, il est parfois difficile de distinguer les approches de représentation et de cadre, en particulier lorsqu’une phase de travail peut être considérée à la fois comme un changement de cadre et de conversion de représentations. En réalité, plutôt que de se contredire, les deux approches se complètent : au-delà de son contenu mathématique, chaque paramètre offre des systèmes sémiotiques spécifiques, et la coordination des paramètres implique également la coordination des systèmes sémiotiques. Pour nous, ce cadre théorique est potentiellement productif dans le sens où, au-delà des représentations, il met l’accent sur les contenus et les raisonnements mathématiques et sur leur coordination entre les différentes branches des mathématiques. Pour nous, le croisement des connaissances liées à l’instrument et des connaissances liées aux mathématiques, ainsi que la relation entre les signes induits par l’instrument et les signes mathématiques, peuvent être obtenus en coordonnant l’activité dans deux domaines. Dans un domaine en lien avec l’informatique, nous avons l’activité qui est liée à l’instrument.

C’est le cas où l’élève doit résoudre une tâche avec l’instrument et son système spécifique de signes. En revanche, dans un domaine mathématique, l’activité consiste à comprendre la tâche et la solution au niveau mathématique et à travailler avec des signes mathématiques, justifiant mathématiquement la solution obtenue. Tenant compte de cette évolution sur la recherche autour des ETM, nous sommes partis de l’hypothèse qu’une série de tâches dans le domaine de l’algorithmique pouvait être aussi analysé dans le cadre d’un Espace de Travail du type ETG. En effet, la réalisation d’un algorithme comme représentation d’une suite finie d’opérations élémentaires, à appliquer dans un ordre déterminé, à des données, peut être comparée aux différentes étapes à mettre en place lors de la construction d’une figure géométrique donnée. Ainsi, tant pour la réalisation d’un algorithme que pour la construction d’une figure géométrique, le processus associé permet de résoudre un même type de problème. travaux de type mathématico-algorithmique. Cette étude théorique va se compléter par l’analyse d’ingénieries didactiques (cf. partie 2) permettant d’étudier les conséquences de ces interactions de domaines tant mathématique qu’algorithmique sur l’élève débutant en informatique et n’ayant pas nécessairement des compétences mathématiques lui permettant de rester dans le domaine spécifique des mathématiques en lien avec l’ingénierie mise en place. Notre étude sur les changements de domaine s’appuie plus spécifiquement sur les ETA en distinguant un domaine initial, ou source, et un domaine d’arrivée, ou de résolution.