Les grandes classes de modèles non linéaires

Naturellement ces propriétés sont difficiles, voir impossibles, à reproduire à partir de modèle ARMA linéaires classiques. Ces modèles linéaires de séries temporelles n’étaient finalement fondés que sur des combinaisons linéaires de valeurs présentes et passés de chocs. En effet, le théorème central de l’analyse des séries temporelles qui est le théorème de Wold (1954), indique que tout processus faiblement stationnaire peut être réécrit sous la forme d’une moyenne mobile infinie de processus de type bruits blancs, c’est à dire sous la forme d’une combinaison linéaire d’une séquence de variable aléatoiresnon corrélées dansle temps. Parconséquent, l’hypothèse de processus ARMA stationnaire ne permet pas de prendre en compte d’une part les mécanismes d’asymétrie et d’autre part les ruptures de forte amplitude comme le montre la simulation suivante d’un processus ARMA(2,2). D’où la nécessité d’aller vers des modélisations non linéaires.
Insérer simulation ARMA : trajectoire + histo
Rappelons la définition générale d’un processus autorégressif et d’un processus linéaire autorégressif (Gourieroux, 1992).

Definition Un processus stochastique Xt est un processus autorégressif d’ordre K si et seulement si : EXt/Xt−1= E (Xt/Xt−1,X t−2,..,X t−K) (2.10) Un processus stochastique est un processus autorégressif linéaire d’ordre K si et seulement si : ELXt/Xt−1= EL(Xt/Xt−1,X t−2,..,X t−K) (2.11) où EL(.) désigne l’espérance linéaire. L’espérance conditionnelle EXt/Xt−1est la meilleure approximation au sens de l’erreur quadratique moyenne de Yt par une fonction es valeurs passées Xt−1,X t−2,.. Cette approximation est en général une fonction non linéaire de ces valeurs. La régression linéaire ELXt/Xt−1est la meilleure approximation de Xt par une fonction linéaire affine de Xt−1,X t−2,… Au regard de cette définition, il existe une in finité de processus non linéaire susceptible de représenter les propriétés des séries financières

Modèles autorégressifs à seuil (modèles TAR)

Les modèles auto-régressifs à seuils constituent l’une des spécifications possibles de la grande famille des modèles non-linéaires, appelés modèles à régime. L’idée consiste à postuler l’existence de plusieurs dynamiques pour une même série (plusieurs régimes) et à spécifier un mécanisme de transition d’un régime à l’autre. Deux grands types de mécanismes de transition existent :
Master ESA. Modèles ARCH / GARCH Univariés. Cours de C. Hurlin 15
• Des mécanismes de transition stochastiques et exogènes régis par des processus de type chaîne de Markov : on parle alors de Markov Switching Models (Hamilton, 1989)
• Des mécanismes de transition endogènes où la fonction de transition dépend de la variable dépendante et d’unseuil : onparle alorsde Modèles à Seuils ouThreshold AutoRegressive Models (TAR).
Les modèles à seuils ont été introduit par Tong (1978). Il existe toute une classe de modèle suivant lé définition retenue de la fonction de transition : TAR, MTAR, STAR, ESTAR, LSTAR, MSTAR etc.. Le modèle le plus simple est le modèle SETAR (SElf Exciting Threshold AutoRegressive) introduit par Tong, mais popularisé par Hansen (1996). Considérons le cas le plus simple d’un modèle à deux régimes : Xt = Φ1 (L)XtIXt−d>γ + Φ2 (L)XtIXt−d≤γ + εt (2.18) oùΦj (L),j=1 ,2désignentdeuxpolynômesretardd’ordrefinietoù εt est i.i.d.0,σ2 ε.La fonction Iz désigne l’indicatrice telle que : IXt−d>γ = 1 0 si Xt−d > γ sinon (2.19) Le paramètre d ∈ N, appelé délai, est nécessairement supérieure à l’unité pour éviter des problèmes de simultanéité. Le paramètre γ ∈ R est appelé paramètre de seuil. Ce type de modèle permet très facilement de modéliser des phénomènes tels que l’asymétrie : pour un même choc, les mécanismes de propagation diffèrent suivant les valeurs passées de la variable dépendante Xt−d. Ce type de processus permet aussi d’obtenir des distributions leptokurtiques de la variable dépendante.