Problème direct en électrique

La résolution du problème direct en résistivité électrique est abordée du point de vue de la résolution d’équations différentielles aux dérivées partielles ou d’équations intégrales par des méthodes numériques. Le problème est résolu par des formulations analytiques seulement pour des corps simples comme un terrain en couches, une sphère ou un dyke. Ces dernières constituent des outils de vérification et de validation robustes pour les méthodes numériques. Il existe plusieurs méthodes numériques pour la résolution des équations différentielles aux dérivées partielles et des équations intégrales avec plusieurs variantes pour une même méthode. Cette diversité est une véritable richesse pour les modélisateurs, comme l’affirmait Hohmann (1988) : « The numerous possibilities for theoretical and programming errors make it necessary to compare results computed by different methods before a numerical solution can be considered valid ». Dans le cas du problème direct en électrique, on trouve un nombre abondant de publications. En général, on utilise des méthodes par différences finies, par volumes finis, par éléments finis, par équations intégrales et par les moments. Seule la méthode des moments est hybride dans le sens où elle combine formulation analytique et méthode numérique. Dans la pratique, les méthodes par différences finies et par éléments finis sont les plus utilisées. Elles présentent l’avantage d’une bonne précision et d’une faible exigence de l’espace mémoire comparées aux équations intégrales. Dans le cas de géométries complexes, comme par exemple en présence d’une topographie accidentée, la méthode par éléments finis est plus appropriée par sa précision à rendre compte des géométries.

Problème direct en tomographie sismique 

Le calcul des temps de première arrivée repose sur une résolution numérique de l’équation eikonale (Červený, 2001 ; Baina, 1998). L’approche la plus couramment utilisée est la résolution par différences finies introduite par Vidale (1988). Les algorithmes ainsi définis calculent les temps de première arrivée sur des grilles cartésiennes, à partir d’un modèle de vitesse lui aussi défini sur une grille cartésienne avec le même espacement de grille. L’implémentation d’un solveur eikonal peut être décomposée en deux problèmes :
♦ un problème local, qui a pour objectif de définir le schéma aux différences finies utilisé pour calculer le temps de première arrivée en un point donné de la grille en fonction des valeurs de temps des points voisins ;
♦ un problème global, qui permet de déterminer dans quel ordre les points de la grille doivent être considérés.

L’article de Vidale (1988) a rapidement été suivi par des dizaines d’articles introduisant des variantes de schémas aux différences finies développées pour améliorer la rapidité, la robustesse, la stabilité ou la précision par exemple (van Trier and Symes, 1991 ; Podvin and Lecomte, 1991 ; Qin et al., 1992 ; Pica, 1997). De nombreux articles continuent d’être publiés chaque année sur le sujet, donnant ainsi naissance à des nouveaux noms de méthodes telles que la Fast Marching Method (Sethian, 1996 ; Popovici and Sethian, 1998), ou la Fast Sweeping Method (Boué and Dupuis, 1999 ; Zhao, 2005). Des variantes de ces méthodes permettent aussi de prendre en compte par exemple l’anisotropie du milieu (Lecomte, 1993 ; Qian et al., 2007), ou bien encore de réaliser une implémentation parallèle de l’algorithme (Zhao, 2006).

La résolution par différences finies de l’équation eikonale fournit une grille des temps de première arrivée en tout point du modèle. Il est alors ensuite possible de tracer les rais qui relient la source aux récepteurs de manière a posteriori (Podvin and Lecomte, 1991 ; Baina, 1998). Une méthode de calcul de la trajectoire des rais a posteriori repose sur le principe de stationnarité proposé par Vidale (1988). On part du récepteur, pour une meilleure stabilité numérique, et on avance itérativement vers la source en suivant la direction opposée au gradient des temps. Ce gradient est estimé localement par un schéma aux différences finies centré sur un nœud du réseau ou bien sur le centre de la maille selon leur proximité de la position du point courant. Le tracé de rais a posteriori réalisé pour toutes les positions des couples source-récepteur permet alors de calculer la matrice des dérivées partielles. On calcule pour cela en chaque maille du modèle la longueur du segment du rai qui la traverse.

Inversion séparée 

On trouve les principes de base de l’inversion en géophysique dans plusieurs livres et articles de références (Tikhonov and Arsénine, 1977 ; Menke, 1984 ; Tarantola and Valette, 1982 ; Tarantola, 1987 ; Meju, 1994 ; Parker, 1994 ; Sen and Stoffa, 1995 ; Zhdanov, 2001). En général, la résolution d’un problème inverse en tomographie géophysique consiste à estimer une ou plusieurs propriétés physiques à partir de mesures physiques qui leur sont liées par l’intermédiaire d’un modèle direct . Par exemple, la résistivité électrique est estimée à partir des mesures de potentiel électrique et la vitesse sismique est estimée à partir de la mesure de la première arrivée des ondes sismiques. Il faut noter que les propriétés physiques peuvent être mesurées en laboratoire sur de petits échantillons, on parle dans ce cas de propriétés vraies qui peuvent être différentes des propriétés estimées par inversion. Lors de la résolution d’un problème inverse, il est nécessaire de répondre à trois questions fondamentales : existe-il une solution ? est-elle unique ? est-elle stable ? Selon Hadamard (1902), le problème est dit bien posé si la réponse à toutes ces questions est oui. Dans le cas contraire, le problème est dit mal posé. L’existence d’une solution est évidente d’un point de vue physique puisque le milieu investigué sur lequel les mesures sont réalisées est bien réel. D’un point de vue mathématique, la question de l’existence est un peu plus compliquée puisque le modèle direct retenu pourrait s’avérer inadéquat pour expliquer entièrement les données mesurées. En effet, comme les mesures sont bruitées et que ce bruit ne peut être décrit par les équations de la réponse géophysique, il est fort probable de ne pas pouvoir trouver un modèle dont la réponse géophysique ajuste parfaitement les données mesurées. En ce qui concerne l’unicité de la solution, elle n’a été démontrée théoriquement que pour quelques problèmes très simples en géophysique. En général, plusieurs modèles peuvent donner une même réponse géophysique. Finalement, la plupart des problèmes inverses en géophysique sont instables. Deux jeux de données peuvent être équivalents à une erreur près mais leurs modèles générés par inversion sont complètement différents.

Inversion en tomographie électrique

Dans le cas de la tomographie électrique, le problème inverse est non linéaire et mal posé (résolution du modèle supérieure à la taille des objets du milieu réel, influence de la qualité des données, étude d’un milieu 3D alors que le modèle caractérise un milieu 2D en tomographie électrique 2D). Il est le plus souvent résolu par moindres carrés régularisés en utilisant des algorithmes de descente (Lytle et al., 1980 ; Smith and Vozoff, 1984 ; Constable et al., 1987 ; Sasaki, 1989 ; Labrecque and Ward, 1990; Daily and Owen, 1991 ; Li and Oldenburg, 1992 ; Ellis and Oldenburg, 1994 ; Loke and Barker, 1995 ; Loke and Barker, 1996 ; Labrecque et al., 1996 ; Farquharson and Oldenburg, 1998 ; Yi et al., 2003 ; Günther and Rücker, 2006a ; Günther et al., 2006). D’autres algorithmes sont aussi utilisés comme par exemple la rétroprojection (Shima, 1992), la décomposition en valeurs singulières (Friedel, 2003), la reconstruction itérative simultanée (SIRT : simultaneous iterative reconstruction technique) (Dines and Lytle, 1979, 1981). Le problème inverse a aussi été résolu par des méthodes stochastiques comme l’approche bayésienne par un estimateur maximum a posteriori (MAP) (Pous et al., 1987 ; Mackie et al., 1988 ; Park and Van, 1991 ; Zhang et al., 1995 ; Zhang et al., 1996 ; Yang and Labrecque, 1998 ; Maillot et al., 1999) ou des algorithmes de type recuit simulé (Chunduru et al., 1995 ; Pessel and Gibert, 2003) ou génétiques.