Etude expérimentale de l’influence de la taille des pores sur l’écoulement des fluides non-newtoniens

APPROCHE THEORIQUE DE L’INFLUENCE DE LA TAILLE DES PORES

La conductivité hydraulique et la perméabilité des milieux poreux

La conductivité hydraulique : La conductivité hydraulique K est un coefficient dépendant des propriétés du milieu poreux où l’écoulement a lieu (granulométrie, forme des grains, répartition et forme des pores, porosité intergranulaire) et des propriétés du fluide concerné par les écoulements (la viscosité, le poids spécifique). (III.1) Avec : • k : la perméabilité intrinsèque du milieu poreux (m2 ). • ρ : la masse volumique du fluide (kg/m3 ). 24 • g : l’accélération de la pesanteur (m/s2 ). • μ : la viscosité dynamique du fluide.

Evaluation de la perméabilité d’un milieu poreux modélisé par un f aisceau de capillaires parallèles

On modélise le milieu poreux par un ensemble de capillaires rectilignes parallèles de diamètres individuels d. Figure (III.1) : Réseau de capillaires rectilignes parallèles : loi de filtration en milieu poreux. Pour un capillaire unique, la relation entre la perte de charge et le débit Q est donnée par la relation de Poiseuille: Q = d4 (III.2) Soit N le nombre de capillaires par unité de surface perpendiculaire au sens de l’écoulement et k la perméabilité pour les écoulements dans cette direction. Le débit total à travers l’ensemble de la section A est donc donné par: N (III.3) D’après la loi de Darcy pour un é coulement unidimensionnel à basse vitesse, Q vérifie également: (III.4) La constante de proportionnalité k est la perméabilité, qui est une caractéristique du milieu poreux. P est la variation de pression entre les 2 extrémités de l’échantillon (perte de charge), η est la viscosité dynamique du liquide qui s’écoule. Donc par identification on a : = N (III.5) 25 III-2-La porosité Définissons la porosité ε comme le rapport du volume des pores au volume total. Pour un matériau homogène et isotrope, ε est égal à la fraction de surface occupée par les pores dans une section plane du matériau, ce qui mène à: ε = (III.6) On a alors: = (III.7) Ce modèle décrit la perméabilité comme une fonction linéaire de la porosité et une fonction quadratique de la taille des canaux, donc de la taille caractéristique des pores. Ainsi, pour une porosité donnée, la perméabilité varie comme le carré du di amètre des canaux: la chute de pression pour un débit de fluide donné augmente (ou encore le débit pour une chute de pression donnée diminue) très rapidement lorsque la taille des pores décroît même si le volume poreux total reste constant. III-3-Modèle des canaux tortueux Ce modèle permet de corriger l’approximation de canaux rectilignes fait jusque là. On peut en effet considérer que dans un é chantillon de longueur L, un c anal qui traverse l’échantillon de part et d’autre a une longueur effective Le >L du fait d’une certaine tortuosité (voir figure III.2). La tortuosité est définie comme le rapport entre ces deux longueurs : ζ (III.8) Muni de ce nouveau paramètre, on peut modéliser le milieu poreux comme un assemblage de ce genre de canaux tortueux. Reprenant la même démarche que pour les capillaires parallèles, on écrit la porosité sous la forme : ε = (III.9) Et le débit dans chaque pore est (d’après la loi de Poiseuille) : Q = d4 (III.10) La vitesse moyenne de filtration du fluide est donc : N = (III.11) Et la perméabilité associée à ce modèle est : ktort = (III.12) Figure (III.2) : Modèle de capillaire tortueux. La longueur effective Le du capillaire est repliée sur une longueur L (flèche). 

Etude de la dépendance du diamètre des pores au diamètre des grains

Pour fixer les idées, estimons la surface d’un pore individuel sur un système à 2 dimensions (c’est plus facile à ap préhender avec un schéma). Considérons un e mpilement triangulaire compact de disques de rayon R. Figure (III.3) : Illustration d’un milieu poreux formé de billes de même diamètre. Dans cette configuration, un motif unité (la maille élémentaire), qui répété périodiquement, conduit au réseau triangulaire, est un losange (L) de surface égale à : SL = (2R) (2R) 2 (III.13) A l’intérieur de cette surface, il y a exactement les éléments d’un disque de surface S = 𝜋R2 , donc le pore a une surface : SL – S= (2 𝜋) R2 (III.14) Qui est bien proportionnelle à R2 . Donc le diamètre des pores est proportionnel au diamètre des grains. On peut généraliser ce genre de raisonnement géométrique à un système à 3 dimensions. [Deleporte, 2003]. 27 En effet avec un t ype de réseau poreux, on s e rend compte à quel point l’écoulement est sensible aux écarts de porosité qui peuvent induire de grandes variations de perméabilité.

RESULTATS EXPERIMENTAUX ET INTERPRETATIONS

Vérification de la loi de Darcy : détermination de la conductivité hydraulique

Présentation du dispositif expérimental 

Notre expérience est réalisée à partir du dispositif présenté à la figure suivante constitué :  d’une colonne cylindrique en verre, de section A = 0,0009 m2 et de longueur d’environ 80 cm contenant un m ilieu poreux constitué de grains de sable de dimensions calibrées.  d’une ampoule à décanter (réservoir d’alimentation)  d’une éprouvette graduée et d’un chronomètre Figure (IV.1): Dispositif expérimental 

Principe expérimental

Dans cette expérience, on s’intéresse à des écoulements où le milieu poreux est du sable de terre séché, sable obtenu au bord de la plage de l’IFAN. On a fait la séparation des particules (grains de sable) par classes de tailles, par tamisage au travers des tamis de diamètres calibrés jusqu’à un diamètre de particules d’environ 0,05 mm. C’est ainsi qu’on a obtenu trois classes de milieux poreux M1, M2 et M3 de diamètres de grains respectifs d1, d2 et d3 différentes et croissantes (d1 < d2 < d3) ; d1=0,05mm, d2=0,08mm etd3=0,09mm 28 Nous allons ensuite remplir la colonne de chromatographie avec un échantillon de grains de sable à étudier jusqu’à une longueur L=20cm, puis faire écouler à saturation le fluide à étudier. On laisse le fluide s’écouler dans l’éprouvette graduée pour en déterminer le débit à la sortie du m ilieu poreux en se servant du chronomètre tout en maintenant la charge hydraulique constante à l’aide du robinet de l’ampoule à décanter.