Etude mathématique de problème de transport de sable en milieu sous marins

Contexte général du problème de transport de sable

 Ce chapitre a fait l’objet de la publication [43]. L’un des principaux objectifs de cette étude est de présenter le problème modélisant la dynamique de dunes de sable. Cette partie vise à construire des modèles appropriés à notre problème de transport de sable sous marins. La modélisation présentée dans cette partie s’inspire des travaux de [23], [5], et [6]. Sous l’influence des forces hydrodynamiques, les particules sédimentaires s’organisent régulièrement sous la forme de structures, périodiques ou non, lors de leur dépôt. Ces structures sédimentaires peuvent ˆetre caractérisées par leur morphologie. Cette dernière est liée à une multitude de paramètres tels que la granulométrie du sédiment, la nature et l’intensité des agents forcants, la disponibilité du sédiment ou encore la profondeur d’eau. Les dunes sont des corps sédimentaires largement répandus et observés actuellement dans une multitude d’environnements actuels. En domaine continental, on observe des dunes dans les environnements désertiques ou littoraux; les dunes sont qualifiées d’éoliennes si elles sont faconnées par le vent. Les dunes sont également produites dans les environnements aquatiques soumis à l’action des courants. On distingue deux types de dunes sous-aquatiques en fonction de l’agent dynamique responsable de leur formation et de leur évolution : les dunes tidales pour lesquelles l’agent essentiel est la marée et ses courants associés et les dunes non-tidales pour lesquelles les agents dynamiques dominants sont différents de la marée par exemple action de la houle, courants de dérive, courants profonds, écoulements gravitaires, etc. Cette multitude de phénomènes pouvant générer des dunes implique que les dunes aquatiques se répartissent dans des environnements variés, dès lors que les profondeurs sont suffisamment importantes et que les courants, unidirectionnels ou alternatifs, sont assez puissants. Les dunes sont des structures transverses, étant donnée l’orientation quasiment perpendiculaire de leur crete par rapport à la direction principale des courants. Comme pour les formations d’origine éolienne, les dunes sous-marines peuvent etre caractérisées grace à des paramètres et des indices morphologiques utilisés couramment par les sédimentologistes marins. L’amplitude, ou hauteur, et la longueur d’onde des dunes sont les paramètres morphologiques classiquement utilisés par les sédimentologistes marins pour caractériser les dunes. Dans le cas o`u les dunes se disposent de facon périodique, la longueur d’onde est la distance entre deux cretes consécutives. Dans le cas ou les dunes sont isolées, cette grandeur est régulièrement substituée par la largeur L de la dune qui correspond à la distance horizontale mesurée du pied de dune amont au pied de dune aval dans le sens du courant. En domaine aquatique, la hauteur et la longueur d’onde des dunes varient énormément en fonction des conditions environnementales. Berné et al. (1989) [10], dans leur essai de synthèse sur les dunes hydrauliques tidales actuelles, estiment que la hauteur et la longueur d’onde des dunes sont respectivement comprises entre 6 cm et une dizaine de mètres et entre 60 cm et plusieurs centaines de mètres. L’amplitude des dunes sous-marines est rarement supérieure à 20 m. Pour ce qui est de la longueur d’onde, Allen (1982b) [2] estime, en se basant sur 25 études, que la valeur maximale est de 1000 m. La forme des sections transversales de dunes varie principalement en fonction de la pente de ses flancs. Lorsque la pente du flanc doux est plus faible que celle du flanc raide, le profil de dune est qualifié d’asymétrique. Les dunes asymétriques sont généralement associées à un courant unidirectionnel, ou à des courants tidaux asymétriques, c’est-à-dire marqués par la prédominance d’une phase de courant par rapport à l’autre ([35]). Le flanc raide est alors orienté dans la direction o`u porte le courant, ce qui définit la polarité de la dune. Il est le siège d’avalanches sableuses qui permettent la migration de la dune (Berné, 1991 [11]). Lorsque les pentes des deux flancs sont semblables, la dune adopte alors un profil symétrique qui est généralement du à des courants tidaux symétriques. La taille, ainsi que l’évolution des dunes sous-marines dépendent principalement de la granulométrie du sédiment dunaire, de la vitesse des courants et de la profondeur d’eau. L’existence, la taille et la forme des figures sédimentaires en milieu sous-marin dépendent principalement du régime d’écoulement du fluide, ainsi que de la granulomètrie du sédiment. Deux types de régimes d’écoulements sont distingués : le régime d’écoulement inférieur dans lequel la résistance des particules au mouvement est élevée et leur déplacement modéré, et le régime d’écoulement supérieur dans lequel les particules sont entrainés en abondance, presque indépendamment de leur taille. Selon la vitesse de l’écoulement et son régime, différentes figures sédimentaires se mettent en place. Les dunes se développent lorsque l’intensité du courant augmente à partir de rides de plus petites dimensions. Amos et King [3] indiquent que, pour permettre la formation de tels corps sédimentaires, les vitesses de l’écoulement près du fond doivent être comprises entre 0,4 et 1 m.s −1 pour des sables moyens, entre 0,5 et 1 m.s −1 pour des sables grossiers et entre 0,6 et 1 m.s −1 pour des sables très grossiers. La taille des grains composant les dunes est très variable et est généralement comprise entre les sables fins et les graviers. Flemming [27] a montré que plus le sédiment est grossier, plus les dimensions des dunes sont importantes. Dans cette étude, la compilation des paramètres descriptifs de 1500 dunes de divers environnements lui permet de proposer un modèle statistique sans discontinuité des rides aux dunes géantes à partir duquel il peut prévoir les dimensions maximales d’une dune (hauteur et longueur d’onde) en fonction de la granulométrie. Ainsi, pour un sédiment dont le diamètre moyen est de 0,125 mm, la hauteur et la longueur d’onde maximales sont respectivement de 0,8 m et 7 m, alors que pour un sédiment de 1 mm, il prévoit des grandeurs maximales de 30 m et 600 m respectivement. 

Construction d’un modèle de référence

 De nombreux phénomènes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques. En effet, nous nous centrons sur la modélisation du phénomène physique conduisant à une équation de transport. Le processus physique sur lequel porte notre étude est la dynamique des dunes de sable marin, à proximité des cotes dans les zones oumises à la marée. Pour comprendre la traduction mathématique de ce phénomène physique, on revoit brièvement le travail du météorologue et sédimentologiste Felix Maria Exner. En effet, il développe une équation décrivant la conservation de la masse s’appliquant aux sédiments dans un système fluvial comme une rivière ; d’o`u il tire son nom. L’équation de base indique que le changement en altitude z du lit, sur un temps t est égal à l’inverse de la densité de tassement des grains ε0 multiplié par la divergence négative du flux q de sédiments ∂z ∂t = − 1 ε0 ∇ · q. (3.1.1) Notons que ε0 peut aussi ˆetre exprimé sous la forme (1 − p) o`u p est égal à la porosité du lit. En effet, l’équation modélisant l’évolution d’un fond sableux sous l’action d’un courant (voir L.C Van Rijn [44] et Idier [28]) s’écrit comme suit : ∂z ∂t = − 1 1 − p ∇ · q. (3.1.2) Dans cette équation, les champs dépendent du temps t ∈ [0, T), pour T > 0, de la position dans la direction horizontale x = (x1, x2) ∈ Ω, o`u Ω est un ouvert régulier de R 2 . Le champ z = z(x, t) désigne l’altitude du fond en la position x et à l’instant t et le champ q = q(x, t) est le flux de volume de sable en la position x et à l’instant t. Le paramètre p ∈ [0, 1] désigne la porosité du sable. Ce flux de volume de sable est défini en fonction de la variation en altitude du fond marin et la vitesse de l’eau au voisinage du fond. Il est exprimé par la relation suivante : q = qf − |qf |λ∇z (3.1.3) o`u qf = qf (x, t) est le flux de volume de sable induit par le courant sur le fond plat et |qf | est sa norme. La constante λ est l’inverse de la pente maximale des dunes de sable lorsque la vitesse de l’eau est nulle c’est à dire sans courant au fond marin. De facon générique, le flux qf s’écrit comme suit [23] qf = αχ˜  g(|u|) − g(u)  u |u| (3.1.4) o`u g est une fonction régulière positive définie sur R + et ˜χ est une fonction régulière de R dans R croissante sur R + et s’annule sur R −. Le champ u désigne la vitesse de l’eau au voisinage du fond et uc est la vitesse critique à partir de laquelle le courant met en mouvement le sable considéré si le fond est plat

Nous considérons ici plusieurs cas d’évolution des dunes sous-marins en fonction du temps caractéristique et de la taille des grains de sable. La dynamique à court terme des dunes faites de petits grains de sable: La situation choisie ici est celle de dunes faites de petits grains de sable, c’est-à-dire avec un diamètre DG ‘ 0, 1mm = 10−4m selon Flemming [27] et Idier [28], avec un tel sable, les dunes générées font un mètre de hauteur et une dizaine de mètres de longueur. Cela nous amène à poser z¯ = 1m et L¯ = 10m.Vu que les dunes marines ne connaissent pas d’évolution significative sur des périodes inférieures à quelques mois, nous fixons pour la longueur de la période d’observation t¯ = 100jours ∼ 2400heures ∼ 8, 6.106 s. En introduisant la fréquence de marée ¯ω,t¯ doit ˆetre comparée à la période de marée 1 ω¯ ∼ 13heures ∼ 4, 7.104 s, ce qui met en évidence un petit paramètre  = 1 t¯ω¯ ∼ 1 200 . En plus, nous considérons que la vitesse critique u 2 c u¯ 2 = 0. A partir de ces données, nous allons calculer les coefficients de l’équation (3.1.30).