Etude numérique des propriétés physiques
des matériaux poreux

Simulation BR dans un milieu poreux

La perméabilité est une mesure de la facilité de passage du fluide à travers un domaine ou une structure. Dans le cas d’un écoulement décrit par un nombre de Reynolds très faible de l’ordre de < 10, la relation la plus importante pour décrire le transport de fluide dans un milieu poreux est la loi de Darcy: p k q = − ∇ µ (Eq. IV–10) où, q est défini comme le débit volumétrique du fluide dans le milieu poreux [kg.m-3] et k est le coefficient de la perméabilité [m2 ] qui mesure la conductivité d’un matériau poreux de l’écoulement. Ce coefficient dépend de la porosité, de la distribution et taille des pores et de l’inhomogénéité de la matière [6]. La loi de Darcy a été introduite à l’origine comme une relation empirique fondée sur les expériences faites sur un écoulement stationnaire dans un filtre de sable vertical. Elle est aussi considérée comme l’équation simplifiée de Stokes. Soit, par exemple, le milieu poreux présenté dans la Figure IV–3. Il s’agit de l’image de la microstructure de silicium feuilleté, obtenue par microscopie électronique à balayage  MEB (Figure IV–3-a). Après l’acquisition, cette image est traitée de manière à distinguer les zones fluides des zones solides (Figure IV–3-b). Cet exemple a déjà été étudié par le logiciel COMSOL Multiphysics basé sur la méthode d’éléments finis [7]. Pour simuler l’écoulement d’eau, on impose un gradient de pression à l’entrée et à la sortie du domaine. La taille du domaine présenté en Figure IV–3-b est 552×276 pixels avec une longueur de référence de 640 microns, soit un espace entre les nœuds ∆x = 16.1 µm qui correspond à un écart adimensionnel de ∆x =1 dans le réseau Boltzmann. Dans le réseau, ρinit prend la valeur adimensionnelle de 1. Un gradient de pression est imposé aux limites avec ρin > ρout , avec une vitesse initiale nulle dans le domaine, ce qui permet au fluide de se propager vers la sortie. La condition de rebond pur est appliquée aux surfaces. En appliquant le modèle LB-D2Q9, les variables inconnues à l’entrée et à la sortie du domaine de calcul sont calculées en utilisant les données du Tableau IV–1 et les relations Eq. III-11 et Eq. III-12 pour la masse volumique et la vitesse macroscopique déjà mentionnées en chapitre III. La loi de darcy est valable pour des nombres de Knudsen 1 10− Kn < [2, 5] ce qui est le cas dans notre domaine de calcul. Rappelons que ce nombre est défini comme le rapport entre le libre parcours moyen et une longueur de référence représentative : 0 Kn = λ mfp / λ (Eq. IV–11) 

Etude du transfert thermique par conduction dans un matériau bicouche

La modélisation des matériaux composites ou céramiques a fait l’objet de nombreuses études [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Les modèles proposés surestiment souvent la valeur de la conductivité thermique effective (CTE) des matériaux étudiés et ne dépendent que de la porosité = −Vs Vtot φ 1 où Vs représente le volume du solide dans le milieu et Vtot est le  volume total du milieu étudié, cela signifie qu’ils ne prennent pas en considération la microstructure du milieu poreux (taille des pores, la distribution des pores et l’orientation). Dans la suite on parle des principaux modèles tentant de prédire la CTE de matériaux hétérogènes. Deux grandes familles de modèles peuvent être différenciées [16] : 1- Celles qui ne prennent pas en considération l’interface solide/solide (solide/fluide) : ce qui revient à considérer que l’interface ne constitue pas un obstacle à la propagation de la chaleur. Tableau IV–3 résume quelques modèles empiriques ayant pour but de déterminer la CTE d’un milieu hétérogène. Le flux thermique est supposé horizontal. Figure IV–7 trace les valeurs déduites de ces relations empiriques pour un matériau biphasique de rapport de conductivité κ1 :κ 2 = :1 100 . 2- Celles qui prennent en considération l’influence de l’interface en lui attribuant une valeur de résistance thermique appelée résistance thermique de contact (RTC) [17, 18] : cela nécessite la prise en considération de l’interface et engendre une difficulté supplémentaire de calcul et par la même un temps de calcul accru. La référence [18], propose un schéma basé sur le modèle BR et tient compte de cette résistance. 

Comparaison avec les relations empiriques

Pour plus de généralité, on a choisi de comparer les résultats obtenus par notre code de calcul avec les valeurs obtenues par l’application des relations empiriques présentées au Tableau IV–3. Le Tableau IV–4 est établi pour le cas d’un modèle série et d’un modèle parallèle. Le milieu étudié se compose de deux matériaux dont les fractions volumiques sont identiques. La conductivité thermique est κ1 pour le premier matériau et κ 2 pour le deuxième. D’autres rapports de conductivités sont envisageables mais au détriment du temps de calcul nécessaire pour atteindre la convergence. 

BR et le logiciel COMSOL Multiphysics

Une étude de comparaison entre les résultats de BR et ceux obtenus par le logiciel COMSOL Multiphysics est proposée dans la suite. Le domaine présenté en Figure IV–11 est considéré en définissant deux milieux 1 et 2 avec une fraction volumique de 0.874 et 0.136, respectivement, et une conductivité thermique de κ1 = 5.2 W.m-1.K-1 et κ 2 = 25 W.m-1.K-1 . En appliquant la relation du modèle du milieu effective (voir Tableau IV–3), on trouve théoriquement une valeur de CTE = 20.98655 κ eff W.m-1.K-1 .  L’exploitation correcte de ce domaine à l’aide du logiciel COMSOL Multiphysics nécessite la définition d’un maillage adaptative raffiné autour du milieu 2 pour diminuer la source d’erreurs comme le montre Figure IV–12-a, alors que pour le code BR, un réseau de 513×513 pixels est défini afin de bien représenter la totalité du domaine, Figure IV–12-b.Les contours de la température sont tracés en Figure IV–13 pour la méthode EF et BR. La valeur de la conductivité thermique estimée par la méthode EF est = 20.339 κ eff W.m-1.K-1 et par la méthode BR 435 = 20. κ eff W.m-1.K-1. La seule interprétation de cette légère déviation de 0.5% entre les deux résultats peut être attribuée à la méthode de discrétisation suivie par chaque méthode de calcul.

Simulation thermique BR dans un milieu poreux

Un des modèles théoriques proposés pour traiter le milieu poreux déjà présenté en Figure IV–3 est la théorie du milieu effectif (voir Tableau IV–3). Ce modèle est destiné à traiter des milieux binaires avec des géométries complexes et son application à notre cas donne une valeur théorique de la CTE de 105 = .1 κ eff W.m-1.K-1 pour κ1 = 5.0 W.m-1.K-1 (les pores) et κ 2 = 5.2 W.m-1.K-1 (solide). Alors que avec la méthode BR cette valeur est = .0 9506 κ eff W.m-1.K-1. Les contours de la température à travers le domaine sont présentés en Figure IV–14.  Pour le cas où le solide est considéré comme mauvais conducteur par rapport aux pores, le champ thermique sera modifié et la valeur théorique de la CTE devient = .1 405 κ eff W.m-1.K-1 pour κ1 = 5.2 W.m-1.K-1 et κ 2 = 5.0 W.m-1.K-1. Par simulation BR on trouve une valeur de 2921 = .1 κ eff W.m-1.K-1. Les contours de la température à travers le domaine sont présentés en Figure IV–15.