Etude théorique des processus stochastiques

 Processus autorégressif moyenne mobile d’ordre p et q

Le processus autorégréssif mobile d’ordre p et q est une combinaison d’un processus AR(p) et d’un processus MA(q). Définition 16 On appelle processus autorégressif moyenne mobile d’ordre p et q un processus stationnaire ayant la représentation suivant (1 − ϕ1B − ϕ2B2 − … − ϕpBp )Zt = (1 − θ1B − θ2B2 − … − θqBq )εt équivaut à ϕ(B)Zt = θ(B)εt On le note ARMA(p, q) Les conditions de stationnarité et d’inversibilité correspondent à celles des processus composants MA(q) et AR(p). Les conditions de stationnarité et d’inversibilité sont satisfaites si les racines de θ(B) et ϕ(B) sont en dehors du cercle unité. Remarque 17 ARMA(0, q) = MA(q) ARMA(p, 0) = AR(p) 1.6.1 Fonction d’autocorrélation Partons de la définition d’un processus ARMA(p, q) Zt −X p i=1 ϕiZt−i = εt −X q i=1 θiεt−i (1.20) Multiplions l’équation (1.20) par Zt−k avec k ≥ q + 1, il vient la relation suivante ZtZt−k −X p i=1 ϕiZt−iZt−k = εtZt−k −X q i=1 θiεt−iZt−k En passant aux espérances mathématiques nous avons 25 E(ZtZt−k) −X p i=1 ϕiE(Zt−iZt−k) = E(εtZt−k) −X q i=1 θiE(εt−iZt−k) Or E(εtZt−k)=0 et E(εt−iZt−k)=0 car εt est non correlé par rapport au passé, ainsi nous avons δ(k) = X p i=1 ϕiδ(i − k); pour k ≥ q + 1 1.7 Processus autorégressif intégré moyenne mobile d’ordre (p,d,q) Soit X = (Xt) , t  Z un processus ARMA(p, q). Considérons l’opérateur somme S défini par SXt = Xt + Xt−1 + … = (1 + B + B2 + … = P t h=−∞ Xh (1.21) avec S−1 = ∇ l’opérateur différence(∇ = 1 − B). Réappliquons l’opérateur S à l’équation (1.21) nous obtenons SX2 t = SX + SXt−1 + … = P t −∞ P i −∞ Xh En répétant d fois l’opération sur Xt posons Zt = Sd Xt ce qui entraine que Xt = ∇d Zt Finalement nous avons l’équation suivante ϕ(B)∇d Zt = θ(B)εt (1.22) 26 L’équation (1.22) est une représentation d’un processus intégré moyenne mobile d’ordre (p, d, q), ce processus est non stationnaire, d est appelé l’ordre de différenciation. Il est noté ARIMA(p, d, q). Remarque 18 ARIMA(p, 0, q) = ARMA(p, q) ARIMA(p, 0, 0) = AR(p)