Interactions acousto-optique dans un barreau de
silice

Formes des modes élastiques

Fig. 7.2  Exemple de maillage pour un barreau de silice de diamètre 1 mm. Un calcul pertinent des courbes de dispersion des modes élastiques d’une bre à cristaux photoniques, ou plus simplement dans notre cas d’un barreau de silice, nécessite la prise en compte de la dimension nie de la structure, que la méthode de décomposition en ondes planes ne permet pas d’assurer. Un code éléments nis modié pour prendre en considération l’aspect propagatif des modes élastiques, a été développé par Vincent Laude [93]. Dans ce contexte, le cas plus général d’une bre à cristaux photoniques quelconque, c’est-à-dire consistant en un arrangement de trous d’air disposés dans une matrice de silice peut être traité. D’un point de vue élastique, l’énergie élastique peut être considérée comme nulle dans les trous d’air, et reste donc connée dans la silice. Les frontières de chaque cylindre creux sont supposées libres de toute contrainte et font oce de diuseurs des ondes élastiques incidentes, indépendamment de leur direction de propagation. Enn, on bénéciera des simplications liées à l’isotropie de la silice. L’analyse des modes élastiques est fondée sur la méthode dite waveguide nite element method qui permet de combiner une approche de type décomposition modale le long de la direction de propagation, supposée innie, avec une autre de type éléments nis de façon à pouvoir simuler une section arbitraire de bre. Cette dernière, que l’on supposera dans le plan (x,y) est donc maillée par des éléments triangulaires constitués de trois sommets et de six n÷uds, un à chaque sommet de l’élément plus un au milieu de chaque arête, comme illustré sur la gure 7.2. Les inconnues du problème sont alors les champs de déplacement suivant x, y et z en chaque n÷ud. Enn, on impose une dépendance harmonique en exp[j (Ωt − Kz)] le long de la direction de propagation. Pour des matériaux isotropes et une propagation axiale, les champs transverses ux et uy et le champ longitudinal uz à la direction de propagation sont en quadrature [41]. Les parties réelles des composantes ux et uy sont donc couplées à la partie imaginaire de uz, et réciproquement. An de déterminer une solution à caractère unique, les champs de déplacement du mode en chaque  noeud de la structure.

Formes des modes optiques

L’importance qu’ont revêtue les bres optiques, en particulier les bres à saut d’indice, ont conduit à l’élaboration de descriptions mathématiques précises rendant compte de la propagation des ondes optiques dans ces guides à symétrie cylindrique. Usuellement, la faible diérence d’indice entre c÷ur et gaine, de l’ordre de quelques 10−4 permet de procéder à quelques simplications des équations de propagation dans un tel milieu (approximation dite du guidage faible). On traite ici de manière quelque peu succincte le cas plus général d’un barreau de silice dans l’air. De plus amples détails sur le formalisme de la propagation d’ondes dans des guides diélectriques peuvent être obtenus en consultant les références [158, 159]. La géométrie du problème impose d’écrire le champ électrique en coordonnés cylindriques. Celui-ci s’exprime sous la forme d’un champ se propageant suivant z uniquement, i.e. : E = E(r,φ)e j(ωt−βz) . Ici, β est la constante de propagation du mode, soit son indice eectif multiplié par le vecteur d’onde dans le vide : β = neff k0 = 2π λ = ω c . On obtient ainsi pour l’équation d’onde une forme simple de type équation de Helmholtz, qui s’écrit en coordonnées cylindriques comme : ∇2 (E) − k ∂ 2 [E] ∂t2 + 1 r ∂E ∂r 1 r 2 ∂ 2E ∂φ2 = ¡ β 2 − k 2 ¢ E (7.13) Cette équation peut être résolue par séparation des variables spatiales d’une part et angulaires d’autre part, en prenant comme base de solutions potentielles des fonctions à symétrie circulaire dont la dépendance radiale est donnée par des fonctions de Bessel ou de Hankel. On étudie dans un premier temps les composantes axiales Ez et Hz. Le détail des calculs est donné en Annexe C. On se contentera ici de donner les formes nales de ces expressions que nous emploierons pour la détermination des autres composantes des champs. On pose à cette n : u = a q¡ n2 ck 2 0 − β 2 ¢ (7.14) w = a q¡ β 2 − n2 gk 2 0 ¢ (7.15) 163 Exemple numérique : interactions acousto-optique dans un barreau de silice où nc et ng sont les indices du c÷ur et de la gaine respectivement. 

Équation caractéristique

Les conditions de continuité des champs aux interfaces (soit en r = a) vont ensuite nous permettre de déterminer les relations s’établissant entre les constantes A, B, C et D. Les composantes tangentielles de E (Ez et Eφ ainsi que la composante normale de H (Hr)) sont continues à l’interface entre les deux diélectriques. De même, en l’absence de charges libres, la composante normale de D (ǫEr = n 2Er) et les composantes tangentielles de H le sont également. On obtient ainsi un système de six équations, dont quatre seulement sont indépendantes, par exemple, celles portant sur Ez, Hz, Er, et Hr. Ce système n’admet de solution que si son déterminant est non nul, conduisant ainsi à l’équation caractéristique admettant pour paramètre la constante de propagation β : · n 2 C n 2 G J ′ m(u) uJm(u) + K′ m(w) wKm(w) ¸·J ′ m(u) uJ(u) + K′ m(w) wKm(w) ¸ = m2 · n 2 C n 2 G 1 u 2 + 1 w2 ¸· 1 u 2 + 1 w2 ¸ (7.20) Une première réduction de ce système nous donne par ailleurs la relation liant l’amplitude du champ électrique à celle du champ magnétique : B = A β ωµm · J ′ m(u) uJm(u) + K′ m(w) wKm(w) ¸· 1 u 2 + 1 w2 ¸−1 (7.21) L’équation caractéristique (7.20) détermine donc la constante de propagation d’un mode guidé pour une valeur d’indice du c÷ur nC et de la gaine nG, un diamétre de bre a et une longueur d’onde de travail λ xée. Il est donc intéressant d’exprimer ces constantes du problème sous la forme d’une grandeur adimensionnelle, en l’occurence la fréquence normalisée V : V = p (u 2 + w2) = 2πa λ q n 2 C − n 2 G (7.22) 7.2.2 Classication des modes Les résultats liés à l’équation (7.20) nous permettent de dégager deux cas particuliers de familles de modes. Modes hybrides On considère dans un premier temps le cas général où m ≥ 1. on parle de modes hybrides, pour lesquels les composantes Ψz des champs ne sont pas négligeables devant Ψr et Ψφ. Les modes HE (respectivement EH) ont une composante Ez (resp. Hz) signicative en rapport aux deux autres. Ils sont de plus caractérisés par deux entiers m et n, où m intervient directement dans l’argument sinusoïdal ou cosinusoïdal des champs (qui ont, rappelons-le une dépendance en cos ou en sin(mφ)), et l’indice n est utilisé pour distinguer les diérentes solutions de l’équation caractéristique à m donné, les fonctions de Bessel étant périodiques. Il est intéressant de noter par ailleurs que les courbes de dispersion des modes EH et HE deviennent très proches dans le cas d’une très faible diérence d’indice entre le c÷ur et la gaine. Les modes deviennent alors dégénérés, et une nouvelle nomenclature est usuellement adoptée pour décrire cette conguration particulière (modes dits « Linearly Polarized, soit LPm,n) 

Fréquences de coupure

 Lorsque l’indice eectif d’un mode donné se rapproche de celui de la gaine, le mode en question a tendance à fuir, et à ne plus être guidé par la structure. Cette condition, dite condition de coupure, se traduit mathématiquement par un paramètre w proche de zéro et donc par V ≃ u. On montre que pour les modes d’ordre 0 (modes transverses, de type TE0n ou TM0n, la fréquence de coupure est donnée par la racine nieme de la fonction de Bessel J0. Le premier mode TEM apparaît donc dès V ≃ 2.4048. De même, les fréquences de coupure des modes hybrides de type HEmn sont données par la racine nieme Jm. A noter que le mode HE1,1 a une fréquence de coupure nulle, c’est-à-dire qu’il peut se propager dans des bres de diamètre de c÷ur très faible. 7.2.4 Détermination des paramètres pertinents pour une application acoustooptique On cherche à étudier deux cas particuliers :  La rétrodiusion Brillouin stimulée  Le couplage de polarisation d’un mode à l’autre (diraction anisotrope).Le premier cas peut être observé dans une conguration monomode, i.e. en choisissant un diamètre du barreau de silice de l’ordre de 1 mm à une longueur d’onde de 1.55µm, en prenant un indice égal à 1.45 pour la silice. Le second nécessite la présence de modes TE0 et TM0 susamment discernables dans la structure. On se place alors à une fréquence normalisée V égale à 3.5 (par exemple avec un diamètre de c÷ur de 1 mm et à une longueur d’onde optique dans la silice de 500 nm). Dans ce cas précis, les indices eectifs des trois modes en présence sont : nHE11 ≃ 1.3234 nTE01 ≃ 1.2575 nTM01 ≃ 1.1649 Si les sections précédentes ont été dédiées à l’étude la plus générale possible en termes de formalisme mathématique de l’interaction acousto-optique de modes guidés dans une bre, les exemples numériques donnés à titre illustratif se contentent de traiter les interactions susceptibles de se produire sur ces trois modes particuliers. On ne calcule par ailleurs que la valeur des coecients C12 tels qu’introduits dans en (6.4.3), qui contiennent l’information pertinente en termes de force d’interaction dans le cas du couplage d’un mode optique à un autre. 

Résolution des équations d’ondes couplées

Rétrodiusion

Le premier exemple qui a été considéré est celui de la rétrodiusion d’un mode optique sur lui-même. La rétrodiusion Brillouin peut être de façon très simpliste vue comme le couplage d’un mode optique de vecteur d’onde β vers un second mode de vecteur d’onde −β. Le vecteur d’onde du mode acoustique permettant un tel couplage doit donc vérier la relation : K = 2β Les coecients de couplage élasto-optiques ont été évalués pour les deux modes optiques TE01, TM01 et HE11 dans les cas de formulation en E comme en D, et sont reportés sur la gure 7.5 pour le premier mode. Ils ont été calculés en évaluant les termes de couplage non diagonaux C12 des expressions (6.4.3) et (6.4.3) du Chapitre précédent. De manière générale, lorsque la formulation en E prévoit des coecients de couplage non nuls, un phénomène d’interaction est également théoriquement prédit par la formulation en D. En revanche, la valeur des coecients obtenus par cette dernière sont plus élevés. Les diérences observées ne s’arrêtent pas à la seule amplitude : de façon beaucoup plus conséquente, on constate que la formulation D prévoit par ailleurs la possibilité d’obtenir une rétrodiusion d’un mode optique pour d’autres modes acoustiques, en plus de ceux obtenus par la calcul fondé sur le champ .