Système de Contrôle d’Attitude et d’Orbite.

Ce chapitre est consacré au contrôle actif de l’attitude d’un satellite par magnétocoupleurs. Nous nous plaçons dans la configuration d’une stabilisation trois axes d’un satellite, sur orbite circulaire, par rapport au repère orbital. Les écarts angulaires sont donc petits. 1.1 Le magnétocoupleur 1.1.1 Notations et conventions On appelle ou on rappelle : • IR, IT, IL, les inerties en roulis, tangage et lacet. • , , , les angles de roulis, tangage et lacet supposés petits dans le contrôle d’attitude. • 0 la pulsation orbitale constante pour une orbite circulaire de rayon r. • Le vecteur champ magnétique terrestre par ses composantes dans le repère orbital local XYZ, associé à la position courante du satellite, au rayon vecteur r et au temps t, cette donnée peut être soit analytique soit sous forme de modèle embarqué : L’électronique de bord et les capteurs utilisés doivent élaborer des moments magnétiques du type suivant, en commandant les courants dans des bobines. Un pseudo moment magnétique de commande est élaboré par le calculateur, par exemple en loi proportionnelle dérivée: D’autres commandes peuvent naturellement être imaginées. 1.1.2 Couple dû au magnétocoupleur Le satellite est équipé de magnétomètres(liés au satellite), mesurant in situ les composantes en axes satellite du champ magnétique terrestre. Des capteurs de positions angulaires (senseurs) et des gyromètres de mesure de vitesses angulaires associés à une électronique de bord, permettent d’élaborer les fonctions mx my mz, puis Mx My Mz, et donc les courants à injecter dans trois bobines suivant les 3 axes pour obtenir le moment magnétique de commande M. Le moment général M du dipôle écrit sous forme vectorielle est : Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en fonction des paramètres angulaires et des composantes de B dans le repère orbital, est dans le cas des petits angles de dépointage : donnant le couple de commande ci-dessous : ce couple de contrôle Mc agissant sur le satellite est donné par ses composantes dans les axes satellites. Mais en dernier ressort c’est m( mx my mz ) qui apparaît réellement comme la commande. Le moment total des perturbations extérieures autres que gravitationnelles est : On consultera, pour évaluer les couples perturbateurs, les ouvrages. On s’intéressera tout particulièrement aux couples d’origine aérodynamiques et on s’apercevra probablement du rôle important joué par la position du centre de poussée par rapport au centre de masse. 1.1.3 Equations du SCAO Les équations de comportement se présentent sous la forme générale ci-dessous : où les quantités du second membre se calculent comme indiqué plus haut : • Indice c pour commande, • Indice p pour perturbations (gravitationnelles non comprises puisqu’elles sont utilisées par le gradient de gravité déjà inclus dans le premier membre). Mise sous forme canonique : Si par exemple le vecteur d’état du système est noté X, la perturbation ou la commande(au second membre) est le vecteur d’entrée U =Up + Uc, Y le vecteur de sortie, on a alors par exemple la représentation d’état : Si en sortie Y=X alors les matrices A, B, C, D s’expriment respectivement ainsi.

Les vecteurs d’état et de commande.

Les calculs mathématiques ont masqué le rôle important du champ magnétique terrestre B et sa contribution comme amortisseur des oscillations des angles de roulis lacet et tangage. Le lecteur vérifiera lui-même que l’expression de Mcx est la suivante : On constate que le premier terme négatif introduit dans l’équation de roulis en  un rappel élastique et un amortissement. Ces effets sont favorables à la stabilisation du roulis. Malheureusement les autres termes de couplage avec le lacet et le tangage dans l’équation de roulis apparaissent comme perturbateurs et parfois déstabilisants. C’est donc un inconvénient non négligeable, qui conduit en pratique à une compensation par roue de réaction, dont le rôle pourrait se limiter à compenser ces termes parasites. Naturellement le raisonnement est le même sur les autres axes. Matrice de gain : On parle en général d’une matrice de gain notée K dans la boucle de retour d’état. Les coefficients kpx, ……, kdz dans les études réelles, sont à déterminer et naturellement à optimiser en tenant compte de leur réalité physique et tout en cherchant à minimiser la consommation en puissance. 1.1.4 Exemple de spécifications imposées à une mission d’imagerie Généralement l’héliosynchronisme est imposé par une mission d’observation de la Terre. La technologie des caméras impose donc des spécifications précises en ce qui concerne : • La précision de pointage, • Les vitesses angulaires maximums admissibles pour une prise de vue correcte, • Caractéristiques techniques du système de prise de vues : – Z : Altitude sol de la prise de vue –  : Angle d’ouverture de prise de vue – n x n : Ensemble de n2 pixels de la matrice carrée CCD –  : temps de prise de vue – k : 0 < k <1 décalage maximum toléré en fraction de pixels de l’image en début et fin de prise de vue. – d : Résolution au sol pour 1 pixel Vous pourriez montrer par un calcul que les tolérances en vitesses angulaires de roulis et tangage sont les mêmes et donnent les spécifications suivantes : Pour le lacet par une étude plus particulière, vous établirez : pour une résolution sol par pixel 1.2 Champ magnétique terrestre 1.2.1 Généralités Le champ magnétique terrestre apparaît comme résultant d’un dipôle magnétique faisant un angle de 11° avec l’axe de rotation de la Terre et légèrement décentré. Le pôle sud du dipôle est dans l’hémisphère nord à 78°6 de latitude et 289°55 de longitude ouest, de plus ce dipôle dérive de 0.014°/an vers l’est et sa force augmente de 0.05% par an. C’est dire la complexité de sa représentation. Deux modèles sont connus: • IAGA pour International Association of Geomagnetism and Aeronomy • IGRF pour International Geomagnetic Reference Field qui propose un développement du potentiel magnétique donnant accès au champ magnétique terrestre sous la forme suivante: Avec les notations.

Pour une première étude de stabilisation par magnétocoupleurs et une bonne compréhension du phénomène, nous nous contenterons d’un modèle simple en ne gardant que les premiers termes du développement soit : Nous obtenons donc les composantes du champ magnétique par • Br est la composante radiale • BN la composante tangente au méridien vers le nord local • BL la composante vers l’est Le calcul donne : 1.2.2 Modèle simplifié du champ magnétique terrestre Nous commencerons par un modèle encore plus simple sans que cela altère les résultats généraux de l’étude de contrôle d’attitude. Hypothèses : On assimile le champ magnétique terrestre à celui d’un dipôle magnétique placé suivant l’axe Nord-Sud de la Terre et présentant ainsi une symétrie de révolution autour de l’axe de rotation de la Terre. Nous savons que : où 0 = 4.10-7 et K= 6,413 1021 A.m2 N est la direction locale du Nord (pour nous magnétique et géographique à la fois avec la simplification adoptée). Exemple de calcul des composantes de B dans le repère orbital local pour une orbite héliosynchrone : Hypothèses : L’orbite est supposée circulaire de type héliosynchrone ou du moins d’inclinaison i>90°. Le temps de référence t = 0 est pris à l’un des passages du satellite au noeud N ascendant (passage de l’hémisphère sud à l’hémisphère nord) On appelle j l’angle polaire du satellite compté à partir du nœud ascendant positivement autour de l’axe de tangage (axe également porteur du moment cinétique du satellite). On appellera  l’angle entre la vitesse (ou l’axe de roulis X) et la direction N du nord local, est mesuré positivement autour de la géocentrique Z (Sur la figure trace montante <0 et i>90°). Remarque: La simple observation du dessin montre que pour une telle orbite, lorsque la trace est montante (latitude croissante) -90°<  <0 et pour une trace descendante (latitude décroissante) -180° <  <-90°. On rappelle les relations de trigonométrie sphérique suivantes : Calcul des composantes de B sur X, Y, Z repère local : De plus le lecteur se convaincra que le plan (E, N) est le plan horizontal (E est la direction de locale de l’est). Il fera attention à l’angle b compté algébriquement dans les calculs de projection. La projection donne alors : d’où les composantes du champ B magnétique en axes du repère orbital local (X, Y, Z.) : On observe que dans notre modélisation la composante BY est constante mais naturellement faible puisque l’inclinaison est voisine de 90° (une orbite héliosynchrone est presque polaire). Bien sûr avec un modèle plus précis, cette propriété n’est plus vraie et BY a une variation périodique.