ETUDES DES EFFETS DES CHAMPS MAGNETIQUES SU RLA TOPPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSE

La forte demande énergétique mondiale actuelle a entrainé des réflexions sur la maîtrise de l’énergie d’autant plus que les principales ressources d’origine fossile diminuent de manière inquiétante à cause de leur utilisation dans la quasi-totalité des activités humaines et notamment dans les transports et dans l’industrie. Les flambées récurrentes des prix du pétrole d’ un côté et la pollution atmosphérique de plus en plus accrue due aux rejets des déchets énergétiques de l’autre ne cessent de confirmer ces observations alarmantes. n devient alors impératif de définir une politique énergétique respectueuse de l’environnement et assurant un équilibre entre les besoins, les ressources et les réserves énergétiques .La magnétohydrodynamique (MHD) peut alors constituer une solution à la crise énergétique mondiale. La MHD est définie comme étant l’étude du mouvement d’un fluide conducteur soumis à un champ magnétique. Les particules composant le fluide satisfont alors aux équations couplées de l’ hydrodynamique, de la thermodynamique et de l’électromagnétique. Comme en mécanique des fluides classique on distingue deux types de magnétohydrodynamique qui dépendent de la valeur du nombre de Reynolds magnétique qui est ainsi nommé par analogie au nombre de Reynolds en hydrodynamique classique. • Lorsque le fluide est fortement magnétisé c’est- à- dire lorsque le nombre de Reynolds magnétique est très élevé on est en dans le cadre de la magnétohydrodynamique idéale et le fluide est traité comme ayant très peu ou pas de résistance électrique donc assimilable à un conducteur parfait. Les lignes de champ magnétique sont intimement liées. Une analogie consiste à comparer le fluide à un peigne et les lignes de champ aux cheveux : le mouvement des cheveux suit exactement ceux du peigne. Cette MHD s’applique surtout à l’étude des plasmas chauds astrophysiques et thermonucléaires d’origine naturelle (étoiles) ou artificielle (tokamaks). • La MHD résistive dite à faible nombre de Reynolds magnétique décrit les fluides ionisés, faiblement magnétisés avec une diffusion non nulle conduisant à une non reconnexion des lignes du champ magnétique. On assiste alors à une rupture dans la topologie magnétique. Dans un fluide conducteur non parfait, le champ magnétique peut se déplacer à travers le fluide suivant une loi de diffusion magnétique où le coefficient de diffusion est «Etude du champ magnétique sur la topologie des champs de vitesses et de température d’un fluide confiné dans une enceinte cylindrique d’axe vertical différentiellement chauffé»  la résistivité. A l’inverse de ce qui se passe dans le soleil où le temps de diffusion à travers une région active est estimé à des centaines de milliers d’années, dans l’eau salée la diffusion se mesure en millisecondes et doit donc être prise en compte. Dans la pratique on distingue deux champs fondamentaux d’applications de la MHD d’égale importance mais interactifs: la MBD appliquée à la conversion d’énergie et la MHD utilisée pour réaliser des pompes. Un générateur MHD est un convertisseur qui transforme l’énergie cinétique d’un fluide conducteur directement en électricité. Contrairement au générateur conventionnel l’induit ici n’est pas un solide (bobine) mais le fluide qui peut être soit un liquide conducteur soit un gaz ionisé par exemple un plasma. Le fluide mis en mouvement dans le champ magnétique génère alors un courant électrique recueilli aux bornes d’électrodes immergées et commutées à une charge. Le concept de générateur MHD a, pour la première fois, été testé par Michal Faraday en 1822 suite à la découverte expérimentale de Oersted sur l’électromagnétique et sa formulation théorique par Ampère avec l’électrodynamique. Il eut l’idée d’utiliser la composante verticale du champ magnétique terrestre en plaçant de part et d’autre du pont de Waterloo sur la Tamise des plaques de cuivre plongées dans l’eau et reliées par un fil électrique. Mais son équipement de l’époque ne permit pas de mettre en évidence le trop faible courant électrique généré; et c’est en 1851 que William Hyde Wollaston arriva à mesurer effectivement, dans l’embouchure de la Manche une tension induite par la marée. Cependant les recherches approfondies d’électricité par MHD n’ont vraiment débuté qu’au XX:ème siècle, à partir de 1938 sous l’impulsion de Bela Karlovitz et aussi grâce au développement de la physique des plasmas. En 2007 un ensemble d’expériences concluantes réalisées aux Etats-Unis avec un fluide simulant une sortie de tuyure d’un avion hypersonique a relancé l’intérêt – hélas militaire- de la MHD après une mise en veilleuse de cette technique pendant de nombreuses années. 

EQUATIONS GENERALES DE LA MAGNETOHYDRODYNAMIQUE

On considère un ensemble de particules chargées, c’est-à-dire un plasma, en interaction avec son propre champ électromagnétique et soumis éventuellement à une force de gravitation. Le comportement d’un tel plasma, vu comme un fluide chargé en mouvement, peut être décrit par des équations macroscopiques. Bien qu’un tel fluide contienne en général au moins deux espèces de particules chargées, les équations régissant le mouvement de chacune de ces espèces peuvent être combinées sous certaines hypothèses (neutralité électrique du fluide par exemple) et ramenées à des équations régissant le mouvement d’une seule espèce fictive. Si de plus on suppose que le fluide se comporte comme un milieu conducteur, et qu’il est régi, d’un point de vue thermodynamique par une équation d’état, alors on obtient un système fermé d’équations régissant à la fois le mouvement du fluide et l’évolution du champ électromagnétique. Ce sont les équations de la magnétohydrodynamique que nous allons détailler par la suite. Notons Po la densité de masse du fluide, – V sa vitesse barycentrique, P la pression …. exercée au sein du fluide et ] la densité de courant électrique dans le fluide. Les équations de la MHD régissant toutes ces quantités se décomposent essentiellement en deux familles couplées entre elles : les équations régissant le mouvement du plasma et les équations régissant le champ électromagnétique. 1.1-Equations r égissant le fluide Le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes suivantes : );> ‘Equation de conservation de la masse. Elle s’écrit: ap –+ – ato + dzv(p0 V) = 0 1.1.1 «Etude du champ magnétique sur la topologie des champs de vitesses et de température d’un fluide confiné dans une enceinte cylindrique d’axe vertical différentiellement chauffé»  );:> Equation du mouvement du fluide li s’agit de l’équation de Navier-Stokes av – -+ -+ -+ Po fa-;+ (V.grad)V}=- gradp + Jl~V + Fext 1.1.2 Où Jl désigne ici la viscosité dynamique du fluide et Fext représente les champs des forces extérieures à distance. On note la présence du terme j A ïi dans l’expression de …… F ext qui est dû à la force de Lorentz exercée par le champ magnétique sur les particules. Ce dernier terme va être à l’origine du couplage avec les équations de Maxwell présentées par la suite. );:> Equation de la chaleur Elle s’écrit sous la forme: ar —-. Po Cv{ at+ ( V.gr ad ) T} = À~T + r 1.1.3 Â et Cv sont respectivement la conductivité thermique et la capacité calorifique –+ –+ massique à volume constant; cpT (CIJT = F ext· V ) est le taux de production de chaleur. 1.2- Equations régissant le champ électromagnétique . ……. …… Les champs E et B sont régis par les équations de Maxwell et la loi d’Ohm. );:> Equations de Maxwell. n s’agit des équations suivantes: -+–+ ___._ 1 U.D dS = JJJ od r dtvD = p (équation de Maxwell-Gaus~ J1s r’ ) 1.2.1 -+–+ J.f. B dS = 0 (conservation du flux magnétique 11.:; ) 1.2.2 «Etude du champ magnétique sur la topologie des champs de vitesses et de température d’un fluide confiné dans une enceinte cylindrique d’axe vertical différentiellement chauffé>> Page 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Frédéric AIHOUBEGNON —- …. aB; rotE =– at (équation de Maxwell-Faraday) —- – …. aï5 rotH =]+ at (équation de Maxwell-Ampère) —- -+ rot]= 0 (conservation de charge) -+ E =- grad U ~ Loi d’ohm Elle s’écrit : -+ -+ – – .] = cr ( E +V AB ) Avec: p’: densité de charge électrique totale a : Conductivité électrique U : est le potentiel des charges électriques ~ J : Densité de courant électrique – B l : Champ magnétique induit __. Ba : Champ magnétique appliqué – H : Excitation magnétique -+ D : Induction électrique 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 Dans le cas des équations de la MHD, les équations de Maxwell peuvent être simplifiées car des arguments physiques montrent que la densité de charges électriques p ‘ ne joue pas un rôle significatif sauf dans la loi de Gauss. Si on considère que les « Etude du champ magnétique sur la topologie des champs de vitesses et de température d’un fluide confmé dans une enceinte cylindrique d’axe vertical différentiellement chauffé»  phénomènes magnétohydrodynamiques ont uniquement pour cause le mouvement du fluide et que les vitesses de celui-ci sont faibles par rapport à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques c’est-à-dire que les vitesses des électrons et ions sont non relativiste, ou la force de Lorentz est plus petite que la force électrique, on peut négliger